Die maclaurinsche Reihe (nach Colin Maclaurin) ist in der Analysis eine Bezeichnung für den Spezialfall einer Taylor-Reihe mit Entwicklungsstelle
:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {f^{(j)}(0)}{j!}}x^{j}=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac {1}{2!}}f''(0)\cdot x^{2}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430a0d948f5b0c844bb14425d3f135fcd60cba59)
Das Betrachten nur endlich vieler Glieder der obigen Reihe liefert die maclaurinsche Formel als Spezialfall der Taylor-Formel:
![{\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}+R_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af71e33832fe88a3d7fb8d4dacd025e689b41063)
mit dem Restglied
![{\displaystyle R_{n}={\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(\theta x)\qquad 0<\theta <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d2de46ce1e229db19c91974eee08c83157df0a)
oder alternativ
![{\displaystyle R_{n}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{0}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e975b45ed168d61067d8857e8ff3a03bea5b67a)
Die Konvergenz der Maclaurinschen Reihe kann durch Untersuchung des Restgliedes
oder durch Bestimmung des Konvergenzradius nachgewiesen werden. Im letzteren Falle kann es jedoch vorkommen, dass die Reihe zwar konvergiert, ihre Summe aber ungleich
ist. Ein Beispiel für solch einen Fall ist die Funktion
mit der Bedingung
: die Glieder ihrer Maclaurinschen Reihe sind alle 0, allerdings ist
für
[1]
Für Funktionen, die bei
nicht definiert sind – z. B.
, oder die bei
zwar definiert, aber nicht beliebig oft differenzierbar sind – z. B.
, lässt sich ebenfalls keine maclaurinsche Reihe entwickeln.
Beispiele
Elementare Beispiele
![{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots =x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4798aa60cacc23abea9b5d77474d3849e222b0)
![{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dots =1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{24}}x^{4}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bff6f121a2aff782bb09eb6d26191f15e39783c)
![{\displaystyle {\text{artanh}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2d73ad1f86ea994a8281a5d84bd9b5804f11a7)
![{\displaystyle \arcsin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca478a31687b0d7facfba082f4e362f0a517a1fc)
- Exponentiell erzeugende Funktion der Bellschen Zahlen:
![{\displaystyle \exp[\exp(x)-1]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103a0b8da090bd1206e8eeda3c0ab2bcef603602)
Nicht elementare Beispiele
![{\displaystyle \mathrm {I} _{0}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{4^{n}(n!)^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\cosh(xy)}{\pi {\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96118f1a50152b4eb0b1bedbb59aff4936674ccd)
![{\displaystyle \mathrm {J} _{0}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{4^{n}(n!)^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\cos(xy)}{\pi {\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b190f2d3c2ee2a6296942358815ed334b2e0e62)
![{\displaystyle \chi _{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(xy)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7fcae5891d5bad74459830f08c5a854aa87367)
- Vollständiges elliptisches Integral erster Art:
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}K(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\pi {\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a619ff8426990c5e2b0cd11c2d5902a9ec79d011)
- Erzeugende Funktion der regulären Partitionszahlenfolge P(n):
![{\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4255231e217eadfc2ad6f343812a280d9f4e79d4)
- Erzeugende Funktion der strikten Partitionszahlenfolge Q(n):
![{\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ca86e235a60d249ba729906a5bc7ce22143ac3)
Mit dem Buchstaben ϑ werden die sogenannten Theta-Nullwertfunktionen ausgedrückt.
Umwandlung beliebiger Taylorreihen in Maclaurin-Reihen
Jede Taylorreihe, auch solche mit Entwicklungsstelle
, kann als Maclaurin-Reihe aufgefasst werden. Dazu wird statt der Taylorreihe zu
die Taylorreihe zu
betrachtet (Substitution):
![{\displaystyle f(x_{0}+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}[(x_{0}+x)-x_{0}]^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3940bea4c04b29b99ee70f5178e28697bb3aa49a)
Durch die Verschiebung um
„zur Seite“ ist die neue Entwicklungsstelle gerade 0, wodurch es sich bei der neuen Taylorreihe um eine Maclaurin-Reihe handelt.
Beispiel: Die Taylorreihe zur natürlichen Logarithmusfunktion
um die Entwicklungsstelle 1, nämlich
![{\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}(x-1)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f22df78a1f083a7750f63779f38b8c2d8e45ae)
entspricht der Maclaurin-Reihe zu
![{\displaystyle \ln(x+1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d4c99692faee356e05f2674bcc393d28720a9a)
Einzelnachweise
- ↑ I. Bronstein, K. Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-2006-0, S. 434.
Normdaten (Sachbegriff): GND: 4441686-6 (lobid, OGND, AKS)