Momentenproblem

Das Momentenproblem ist ein klassisches Problem der Analysis. Statt aus einer Verteilung die Momente zu berechnen, wird das inverse Problem gelöst: aus einer gegebenen Folge von Momenten sollen Rückschlüsse auf eine mögliche, zugrundeliegende Verteilung gezogen werden, insbesondere in der Stochastik, siehe Moment (Stochastik)^[1].

Dabei können zwei Fragestellungen unterschieden werden. Existiert zu einer gegebenen Folge reeller Zahlen ${\displaystyle (c_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ eine Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$, so dass diese Zahlen die Folge der ${\displaystyle k}$-ten Momente für die Verteilungsfunktion bilden, dass also für ein Intervall ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle c_{k}=\int _{I}x^{k}\mathrm {d} F(x),\quad k\in \mathbb {N} _{0}}$

gilt? Ist diese Verteilungsfunktion durch die Angabe der Momente eindeutig bestimmt?^[2]

Die Bezeichnung Momentenproblem wurde von Thomas Jean Stieltjes eingeführt, der das Problem 1894 erstmals ausführlich untersuchte und dabei die Bezeichnungen und Konzepte aus der Mechanik übernahm.^[3][4][5] Je nach Träger der Verteilung (das ist das Komplement der größten offenen Menge vom Maß null), werden unterschiedliche Varianten des Momentenproblems unterschieden.

Beim Hamburgerschen Momentenproblem werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf ${\displaystyle I=\mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$ betrachtet. Eine Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle c_{k}=\int _{\mathbb {R} }x^{k}\mathrm {d} F(x),\quad k\in \mathbb {N} _{0}}$

existiert genau dann, wenn ${\displaystyle c_{0}=1}$ und für beliebige ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$ die Beziehung

${\displaystyle \sum _{j,k=0}^{n}c_{j+k}x_{j}x_{k}\geq 0}$

gilt.^[2] Dabei ist im Allgemeinen die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ nicht eindeutig bestimmt.^[2] Eine hinreichende Bedingung für die Eindeutigkeit von ${\displaystyle F}$ ist die Bedingung von Carleman

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt[{2n}]{c_{2n}}}}=\infty \;.}$^[2]

Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist eindeutig durch die Folge der Momente bestimmt.^[6] Die Verteilungsfunktion einer Lognormalverteilung ist nicht eindeutig durch die Folge der Momente bestimmt, da es andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit denselben Momenten gibt.^[7][8]

Beim Stieltjesschen Momentenproblem ist ${\displaystyle I=[0,\infty )}$.^[2] Beim Hausdorffschen Momentenproblem ist ${\displaystyle I}$ ein beschränktes Intervall; o. B. d. A. ${\displaystyle I=[0,1]}$.^[2]

Eine weitere Variante ist das trigonometrische Momentenproblem, bei dem die Verteilung auf einem Einheitskreis in Abhängigkeit vom Winkel, also ein trigonometrisches Moment gesucht wird.^[9] Gegeben sei eine Folge ${\displaystyle (d_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ komplexer Zahlen. Unter welchen Voraussetzungen existiert eine Verteilungsfunktion auf dem Intervall ${\displaystyle [0,2\pi )}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle d_{k}=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}\mathrm {d} F(x),\quad k\in \mathbb {N} _{0}}$

und ist diese Verteilungsfunktion eindeutig?

Die Antwort gibt ein Satz von Gustav Herglotz, der besagt, dass eine Verteilungsfunktion mit diesen Eigenschaften genau dann existiert, wenn ${\displaystyle d_{0}=1}$ und für beliebige ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \xi _{0},\xi _{1},\dots ,\xi _{n}\in \mathbb {C} }$ die Beziehung

${\displaystyle \sum _{j,k=0}^{n}d_{j+k}\xi _{j}\xi _{k}\geq 0}$

gilt.^[2] In diesem Fall ist ${\displaystyle F}$ eindeutig bestimmt.^[2]

Eine Variante der Fragestellung ergibt sich, wenn nur endlich viele Konstanten ${\displaystyle d_{0},d_{1},\dots ,d_{n}}$ gegeben sind und eine Verteilungsfunktion mit der Eigenschaft

${\displaystyle d_{k}=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}\mathrm {d} F(x),\quad k=1,\dots ,n}$

gesucht ist. Dieses Problem heißt gestutztes Momentenproblem (engl. truncated moment problem).^[10]

• Momentenproblem (moment problem). In: P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 271–272. 

1. ↑ Momentenproblem. Abgerufen am 15. Dezember 2020. 
2. ↑ ^{a b c d e f g h} Momentenproblem. In: Lexikon der Stochastik. S. 272. 
3. ↑ Thomas Jean Stieltjes: Recherches sur les Fractions continues. 1894 (numdam.org [PDF]). 
4. ↑ Gene H. Golub, Gérard Meurant: Matrices, Moments and Quadrature with Applications. Princeton University Press, 2009, ISBN 1-4008-3388-4, S. 15 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
5. ↑ James Alexander Shohat, Jacob David Tamarkin: The Problem of Moments. American Mathematical Society, 1943, ISBN 0-8218-1501-6, S. vii (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
6. ↑ Galen R. Shorack: Probability for Statisticians (= Springer Texts in Statistics). Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98953-6, Theorem 8.2, S. 293. 
7. ↑ Galen R. Shorack: Probability for Statisticians (= Springer Texts in Statistics). Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98953-6, Exercise 8.4, S. 293. 
8. ↑ C. C. Heyde: On a property of the lognormal distribution. In: Journal of the Royal Statistical Society, Series B. Band 25, Nr. 2, 1963, S. 392–393. 
9. ↑ Henry J. Landau: Moments in Mathematics. American Mathematical Society, 1987, ISBN 0-8218-0114-7, S. 1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
10. ↑ Henry J. Landau: Moments in Mathematics. S. 3.