Oppenheim-Vermutung

In der Mathematik ist die Oppenheim-Vermutung eine inzwischen bewiesene Vermutung über die Werte quadratischer Formen und das klassische Beispiel für die Anwendung ergodentheoretischer Methoden in der Zahlentheorie.

Sei ${\displaystyle n\geq 3}$ und

${\displaystyle Q:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

eine indefinite quadratische Form in ${\displaystyle n}$ Variablen, die kein Vielfaches einer Form mit rationalen Koeffizienten ist.

Dann gibt es für jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$ ein ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} ^{n}}$ mit

${\displaystyle 0<Q(x)<\epsilon }$.

Als Korollar erhält man, dass ${\displaystyle Q(\mathbb {Z} ^{n})\subset \mathbb {R} }$ eine dichte Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist.

Beispiel: Für jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$ gibt es ganze Zahlen ${\displaystyle a,b,c}$ mit

${\displaystyle \mid a^{2}+b^{2}-{\sqrt {2}}c^{2}\mid <\epsilon }$.

Die Vermutung in dieser Form wurde 1953 (eine schwächere Vorgänger-Version schon 1929) von Alexander Oppenheim aufgestellt und für ${\displaystyle n\geq 21}$ von Bryan Birch, Harold Davenport und D. Ridout bewiesen. Der allgemeine Fall lässt sich auf den Fall ${\displaystyle n=3}$ zurückführen und dieser wurde von M. S. Raghunathan in folgende Vermutung über die Links-Wirkung von ${\displaystyle SO(2,1)}$ auf dem Quotientenraum ${\displaystyle SL(3,\mathbb {R} )/SL(3,\mathbb {Z} )}$ umformuliert:

Jeder beschränkte ${\displaystyle SO(2,1)}$-Orbit auf ${\displaystyle SL(3,\mathbb {R} )/SL(3,\mathbb {Z} )}$ ist kompakt.

Diese Vermutung wurde 1987 von Grigori Margulis bewiesen. Eine allgemeinere Version der Raghunathan-Vermutung ist der heutige Satz von Ratner.