Eine potenz-assoziative Algebra ist eine Algebra, in welcher die Potenzen eines Elements unabhängig von der Beklammerungsreihenfolge definiert werden können.
Definitionen
Für ein Magma
und jedes
definiere man
sowie
für jedes
.
Die Verknüpfung
eines Magmas
heißt potenz-assoziativ für ein Element
, wenn für alle positiven natürlichen Zahlen
gilt
![{\displaystyle a^{i+j}=a^{i}\circ a^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d36eb67165211133d72cb1e51f6808d19359059)
Ein Magma
nennt man potenz-assoziatives Magma, wenn dessen Verknüpfung
potenz-assoziativ ist für jedes
.
Die Algebra
heißt potenz-assoziativ (potenz-assoziative Algebra), wenn ihre Multiplikation
potenz-assoziativ ist, also
ein potenz-assoziatives Magma ist.
Beispiele
Potenz-assoziative Magmen
- Jede Halbgruppe ist auch immer ein potenz-assoziatives Magma.
- Für jedes idempotente Element eines Magmas gilt die Potenz-Assoziativität:
.
Entsprechend ist jedes idempotente Magma ein potenz-assoziatives Magma - Jede alternative und flexible Verknüpfung, die die Moufang-Identitäten erfüllt, ist auch potenz-assoziativ.
Beweis (per vollständiger Induktion): - Induktionsanfang
: ![{\displaystyle a^{1}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}a\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}a^{j+1}=a^{1+j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60023896381c28628f4f040def5acd9a0b35ef64)
- Induktionsanfang
: ![{\displaystyle a^{2}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ a)\circ a^{j}{\overset {(2)}{=}}a\circ (a\circ a^{j}){\overset {(1)}{=}}a\circ a^{1+j}{\overset {(1)}{=}}a^{2+j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb5bfa19c54efc74e48c911ed7a3921294b38d4)
- Induktionsschritt
für
:
![{\displaystyle a^{i+1}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ a^{i})\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ (a\circ a^{i-1}))\circ a^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7686bff247790ed832ba069169ca7a6e33af1370)
![{\displaystyle {\overset {(3)}{=}}(a\circ (a^{i-1}\circ a))\circ a^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f530e174a880c3cc6ce2239dbe8e7f74bc9353)
![{\displaystyle {\overset {(4)}{=}}a\circ (a^{i-1}\circ (a\circ a^{j}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17a4820e5dea0346d5805f37cea2ad04fa7f172)
![{\displaystyle {\overset {(1)}{=}}a\circ (a^{i-1}\circ a^{j+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1065ddfc24b2d3cc40db9fa81600163adc83964d)
![{\displaystyle {\overset {(5)}{=}}a\circ a^{(i-1)+(j+1)}=a\circ a^{i+j}{\overset {(1)}{=}}a^{(i+j)+1}=a^{(i+1)+j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8669a11f49f86ecc061d909d2fdee65a669d0d9)
- (1) Definition
![{\displaystyle a^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2687184a7698e75db65a25bea7afd207bff3d03b)
- (2) (Links-)Alternativität von
![{\displaystyle \circ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99add39d2b681e2de7ff62422c32704a05c7ec31)
- (3) Flexibilität (und der daraus folgenden
-Potenz-Assoziativität, siehe unten) von ![{\displaystyle \circ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99add39d2b681e2de7ff62422c32704a05c7ec31)
- (4) Moufang-Identität für
![{\displaystyle \circ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99add39d2b681e2de7ff62422c32704a05c7ec31)
- (5) Induktionsvoraussetzung
- Für die Multiplikation einer Algebra reicht hierfür bereits die Alternativität aus, siehe unten!
- Für Spezialfälle reichen weniger Voraussetzungen aus. So folgt
bereist aus der Alternativität:
![{\displaystyle a^{3+2}=a^{5}{\overset {(1)}{=}}a(a(a(aa))){\overset {(2)}{=}}a((aa)(aa)){\overset {(3)}{=}}(a(aa))(aa){\overset {(1)}{=}}a^{3}a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23beb031039ff7d4eef728befb0031e815843f4)
1: Definition ![{\displaystyle a^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2687184a7698e75db65a25bea7afd207bff3d03b)
2: Linksalternativität
3: Rechtsalternativität
Potenz-assoziative Algebren
- Alle assoziativen Algebren sind potenz-assoziativ.
- Alle
-Algebren
, in denen es zu jedem
ein
gibt mit
, sind potenz-assoziativ. - Hierzu gehört beispielsweise
, ausgestattet mit dem Kreuzprodukt, da
für alle
.
- Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz-assoziative Algebra.
Weitere Abschwächungen der Potenz-Assoziativität
Die Verknüpfung
eines Magmas
heißt
-potenz-assoziativ für ein Element
, wenn für die positive natürliche Zahl
gilt:
![{\displaystyle a^{i}\circ a=a\circ a^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bbcab6b53862844fc8c5c041c035083e700493)
Ein Magma, dessen Verknüpfung
-potenz-assoziativ ist, kann man somit auch als ein
-potenz-assoziatives Magma bezeichnen.
Ein potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein
-potenz-assoziatives Magma, denn es gilt:
![{\displaystyle a\circ a^{i}{\overset {(1)}{=}}a^{i+1}{\overset {(2)}{=}}a^{i}\circ a^{1}{\overset {(1)}{=}}a^{i}\circ a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e942f6c15c7daf17913e2f48f6b6c482a340d9cb)
- 1: Definition
![{\displaystyle a^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2687184a7698e75db65a25bea7afd207bff3d03b)
- 2: Potenz-Assoziativität von
![{\displaystyle \circ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99add39d2b681e2de7ff62422c32704a05c7ec31)
Ein flexibles Magma (und erst recht jede Halbgruppe) ist auch immer ein
-potenz-assoziatives Magma, denn es gilt (per vollständiger Induktion):
- Induktionsanfang
(nur mit Definition
): ![{\displaystyle a^{1}\circ a=a\circ a=a\circ a^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8332f72f0083daea8a7c5d247b14a8e4556a04e4)
- Induktionsschritt
: ![{\displaystyle a^{i+1}\circ a{\overset {(1)}{=}}(a\circ a^{i})\circ a{\overset {(2)}{=}}a\circ (a^{i}\circ a){\overset {(3)}{=}}a\circ (a\circ a^{i}){\overset {(1)}{=}}a\circ a^{i+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5466f2242aa592b304b20e1dbb4d38a63e38485)
- 1: Definition
![{\displaystyle a^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2687184a7698e75db65a25bea7afd207bff3d03b)
- 2: Flexibilität von
![{\displaystyle \circ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99add39d2b681e2de7ff62422c32704a05c7ec31)
- 3: Induktionsvoraussetzung
Die Verknüpfung
eines Magmas
heißt idemassoziativ (in Anlehnung an idempotent) für ein Element
, wenn gilt
.
Ein Magma, dessen Verknüpfung idemassoziativ ist, kann man somit auch als ein idemassoziatives Magma bezeichnen.
Ein
-potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein idemassoziatives Magma (mit
).
Beispiele
1. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist idemassoziativ, aber weder
-potenz-assoziativ (und somit auch nicht potenz-assoziativ) noch flexibel noch alternativ:
| 0 | 1 | 2 |
0 | 2 | 1 | 2 |
1 | 2 | 2 | 0 |
2 | 2 | 0 | 0 |
- nicht linksalternativ wegen
![{\displaystyle 0\circ (0\circ 1)=0\circ 1=1\neq 0=2\circ 1=(0\circ 0)\circ 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef705e52d9fcd4eb4327bf96cd3a84b606c18c2a)
- nicht rechtsalternativ wegen
![{\displaystyle 0\circ (2\circ 2)=0\circ 0=2\neq 0=2\circ 2=(0\circ 2)\circ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41f9b795417f48c76192efbbbb94df3756bfd35)
- nicht flexibel wegen
![{\displaystyle 1\circ (0\circ 1)=2\neq 0=(1\circ 0)\circ 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce630d1d338eee472858fc08c6eee60db748ab62)
- nicht potenz-assoziativ wegen
![{\displaystyle 0^{2+2}=0^{4}=0\circ (0\circ (0\circ 0)=2\neq 0=(0\circ 0)\circ (0\circ 0)=0^{2}\circ 0^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262539cb68c5c9ce648eafe1ee9aa27d3f4b9aee)
- nicht
-potenz-assoziativ für
wegen ![{\displaystyle 1\circ 1^{3}=1\circ (1\circ (1\circ 1))=2\neq 1=(1\circ (1\circ 1))\circ 1=1^{3}\circ 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e377220d6041ad8ebb584ff03f9419a8d9faebc8)
- idemassoziativ wegen
![{\displaystyle 0\circ (0\circ 0)=2=(0\circ 0)\circ 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548eda2dc949060cbdf26be985f3594bdeae72c8)
![{\displaystyle 1\circ (1\circ 1)=0=(1\circ 1)\circ 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682c982a7c369fa0fcdad3011c79ea9bf65e07c6)
![{\displaystyle 2\circ (2\circ 2)=2=(2\circ 2)\circ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2be3c371b1403b3252bebfedac03d59f7f745e)
2. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist potenz-assoziativ (und somit auch
-potenz-assoziativ und idemassoziativ), aber weder flexibel noch alternativ:
| 0 | 1 | 2 |
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 2 |
2 | 0 | 0 | 2 |
- nicht alternativ wegen
![{\displaystyle 1\circ (1\circ 2)=2\neq 0=(1\circ 1)\circ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3941f2a4bb5ad26758ebb680af0271a210a9037d)
- nicht flexibel wegen
![{\displaystyle 2\circ (1\circ 2)=2\neq 0=(2\circ 1)\circ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a02e3a674bc8eefa0eb03fbc472b7ffb62df1de)
- potenz-assoziativ wegen
![{\displaystyle 0^{i+j}=0=0\circ 0=0^{i}\circ 0^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b715c0ba2bd74b9e44f39ae47209653e1d15a053)
![{\displaystyle 1^{i+j}=0=0\circ 0=1^{i}\circ 1^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4317d8e6dfcfb768f0016502a72edfaae51d4eb4)
![{\displaystyle 2^{i+j}=2=2\circ 2=2^{i}\circ 2^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca96effe44dee2668c0244a2829348be504d9ac)
3. Das Potenzieren ist nicht idemassoziativ (und somit auch weder
-potenz-assoziativ noch potenz-assoziativ), denn es gilt zum Beispiel:
.
Literatur
- Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0.
- R. D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Benediction Classics, 2010, ISBN 1-84902-590-8.