Radon-Nikodym-Eigenschaft

Die Radon-Nikodym-Eigenschaft, benannt nach Johann Radon und Otton Marcin Nikodým, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen bzw. vektoriellen Maßen. Ein Banachraum ${\displaystyle X}$ hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, oft mit RNP (nach der englischen Bezeichnung "Radon-Nikodym property") abgekürzt, wenn für vektorielle Maße mit Werten in ${\displaystyle X}$ eine zum klassischen Satz von Radon-Nikodym analoge Aussage gilt.

Es seien ${\displaystyle X}$ ein Banachraum, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ ein messbarer Raum und ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {A}}\rightarrow X}$ ein vektorielles Maß. Man sagt, ${\displaystyle \mu }$ habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, falls folgendes gilt:

1. ${\displaystyle \mu }$ ist von beschränkter Variation.
2. Ist ${\displaystyle \lambda \colon {\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} }$ ein endliches, positives Maß mit ${\displaystyle \mu \ll \lambda }$, so gibt es eine bzgl. ${\displaystyle \lambda }$ Bochner-integrierbare Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow X}$ mit ${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}f\mathrm {d} \lambda }$ für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.

Die Schreibweise ${\displaystyle \mu \ll \lambda }$ bedeutet wie üblich, dass ${\displaystyle \mu }$ absolut stetig bzgl. ${\displaystyle \lambda }$ ist, das heißt, dass für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ aus ${\displaystyle \lambda (A)=0}$ bereits ${\displaystyle \mu (A)=0}$ folgt. In obiger Definition erfüllen die beiden Maße also eine vektorwertige Variante des klassischen Satzes von Radon-Nikodym.

Schließlich definiert man, ein Banachraum ${\displaystyle X}$ habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn jedes vektorielle Maß von beschränkter Variation mit Werten in ${\displaystyle X}$ die Radon-Nikodym-Eigenschaft hat.^[1][2]

• Der Banachraum ${\displaystyle \mathbb {R} }$ hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Das ist genau die Aussage des Satzes von Radon-Nikodym.
• Jeder reflexive Raum hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[3] Damit haben die Folgenräume ${\displaystyle \ell ^{p}}$ und die L^p-Räume für ${\displaystyle 1<p<\infty }$ sowie alle Hilberträume die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
• Satz von Dunford-Pettis: Jeder separable Dualraum hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[4][5] Beispiele hierfür sind ${\displaystyle \ell ^{1}}$ oder der Raum ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\ell ^{2})}$ der nuklearen Operatoren auf dem Hilbertraum ${\displaystyle \ell ^{2}}$. Allgemeiner hat jeder Dualraum, der Unterraum eines schwach kompakt erzeugten Banachraums ist, die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[6]
• Ist ${\displaystyle I}$ eine beliebige Indexmenge, so hat ${\displaystyle \ell ^{1}(I)}$ die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
• Hat der Banachraum eine äquivalente sehr glatte Norm, so hat dessen Dualraum die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Insbesondere haben lokal schwach gleichmäßig konvexe Dualräume die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[7]
• Der Raum der Nullfolgen ${\displaystyle c_{0}}$, der Raum der beschränkten Folgen ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ und die Funktionenräume ${\displaystyle C([0,1])}$, ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$, ${\displaystyle L^{\infty }([0,1])}$ haben nicht die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[8]

• Abgeschlossene Unterräume von Räumen mit Radon-Nikodym-Eigenschaft haben wieder die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[9]
• Die Radon-Nikodym-Eigenschaft vererbt sich nicht auf Quotientenräume. Der Raum ${\displaystyle c_{0}}$ ist Quotient von ${\displaystyle \ell ^{1}}$, denn jeder separable Banachraum ist Quotient von ${\displaystyle \ell ^{1}}$, und dieser hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, jener aber nicht.
• Der Satz von Davis-Huff-Maynard-Phelps ist eine geometrische Charakterisierung der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Ein Banachraum ${\displaystyle X}$ hat genau dann die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn es zu jeder beschränkten Menge ${\displaystyle B\subset X}$ und zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle x\in B}$ gibt, das nicht in der abgeschlossenen konvexen Hülle von ${\displaystyle B\setminus K_{\varepsilon }(x)}$ liegt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle K_{\varepsilon }(x)}$ die ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugel um ${\displaystyle x}$.^[10]
• Der Satz von Lewis-Stegall^[11] charakterisiert Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft mittels Operatoren: Ein Banachraum ${\displaystyle X}$ hat genau die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn für jeden Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )}$ mit positivem, endlichen Maß ${\displaystyle \lambda }$ jeder stetige, lineare Operator ${\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )\rightarrow X}$ über ${\displaystyle \ell ^{1}}$ faktorisiert. Letzteres bedeutet, dass es zu jedem stetigen, linearen Operator ${\displaystyle T\colon L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )\rightarrow X}$ stetige, lineare Operatoren ${\displaystyle R\colon L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )\rightarrow \ell ^{1}}$ und ${\displaystyle S\colon \ell ^{1}\rightarrow X}$ gibt mit ${\displaystyle T=S\circ R}$.
• Ein Resultat von Srishti Dhar Chatterji lautet, dass die Existenz der meisten Konvergenzarten für Banach-wertige Martingale ${\displaystyle M_{n}}$ (d. h. ${\displaystyle M_{\infty }}$ existiert unter entsprechenden Voraussetzungen) äquivalent zur Radon-Nikodym-Eigenschaft des darunterliegenden Raumes ist.^[12]

Motiviert durch den Satz von Krein-Milman sagt man, ein Banachraum habe die Krein-Milman-Eigenschaft, wenn jede abgeschlossene, beschränkte, konvexe Menge gleich dem Abschluss der konvexen Hülle ihrer Extremalpunkte ist. Beachte, dass hier keine Kompaktheitsforderung gestellt wird. Dies wird nach der englischen Bezeichnung "Krein-Milman property" oft als KMP abgekürzt.

Nach einem Satz von Lindenstrauss hat jeder Raum mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft auch die Krein-Milman-Eigenschaft.^[13] Die Umkehrung dieser Aussage ist ein offenes mathematisches Problem^[14], sie ist allerdings für Dualräume bekannt, genauer sind folgende Aussagen über einen Banachraum ${\displaystyle X}$ äquivalent:^[15]

• ${\displaystyle X'}$ (der Dualraum von ${\displaystyle X}$) hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
• ${\displaystyle X'}$ hat die Krein-Milman-Eigenschaft.
• Ist ${\displaystyle Y\subset X}$ ein separabler Unterraum von ${\displaystyle X}$, so ist ${\displaystyle Y'}$ separabel.

1. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Seite 106
2. ↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §3, Seite 213
3. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Korollar 5.45
4. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Korollar 5.42
5. ↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4: The Dunford-Pettis Theorem
6. ↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4, Theorem 2
7. ↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4, Korollar 4
8. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, (5.13)+(5.15)
9. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Satz 5.49
10. ↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §3: The Davis-Huff-Maynard-Phelps Theorem
11. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 5.36
12. ↑ S. D. Chatterji: Martingale Convergence and the Radon-Nikodym Theorem in Banach Spaces. In: Mathematica Scandinavica. Band 22, 1968, S. 11–12 (eudml.org – Kapitel 6). 
13. ↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §5, Theorem 1
14. ↑ F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Seite 118
15. ↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §6, Korollar 1