Satz vom Dreizack

Der Satz vom Dreizack (nach den russischen Bezeichnungen лемма о трезубце (wörtlich: Lemma über den Dreizack)^[1][2] und теорема трилистника (wörtlich: Satz vom Trillium)^[3]) ist eine Aussage aus der Elementargeometrie, die eine Eigenschaft von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks beschreibt.

In einem Dreieck ${\displaystyle ABC}$ sei ${\displaystyle I}$ der Mittelpunkt seines Inkreises und ${\displaystyle D}$ der Schnittpunkt von ${\displaystyle BI}$ (Winkelhalbierende in ${\displaystyle B}$) mit seinem Umkreis, dann besagt der Satz vom Dreizack:^[4]

• Die Strecken ${\displaystyle DA}$, ${\displaystyle DI}$ und ${\displaystyle DC}$ sind gleich lang, das heißt ${\displaystyle |DA|=|DI|=|DC|}$.
• ${\displaystyle A,I,C}$ liegen auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt ${\displaystyle D}$ ist. Insbesondere liegt damit der Mittelpunkt des Kreises durch ${\displaystyle A,I}$ und ${\displaystyle C}$ auf dem Umkreis des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$.

Betrachtet man zusätzlich den Mittelpunkt ${\displaystyle E}$.des Ankreises der Seite ${\displaystyle AC}$, so liegt dieser auf demselben Kreis wie ${\displaystyle A,I,C}$ sowie auf der Geraden ${\displaystyle BI}$, so dass Strecke ${\displaystyle EI}$ der Durchmesser dieses Kreises ist.^[5] Die Länge des Durchmessers beträgt dabei:

${\displaystyle |EI|=4R\sin \left({\frac {1}{2}}\angle B\right)={\frac {|AC|}{\cos \left({\frac {1}{2}}\angle B\right)}}}$^[6]

Hierbei steht ${\displaystyle R}$ für den Radius des Umkreises des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$.

Der Mittelpunkt ${\displaystyle D}$ des gemeinsamen Kreises von ${\displaystyle A,I,C,E}$ entspricht zudem dem Südpol im Südpolsatz.

• Evan Chen: Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-6620-6, S. 9–10 (Auszug Google)

• Eric W. Weisstein: Incenter-Excenter Circle. In: MathWorld (englisch).
• A Property of Circle Through the Incenter auf cut-the-knot.org
• Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters auf cut-the-knot.org

1. ↑ Р. Н. Карасёв, В. Л. Дольников, И. И. Богданов, А. В. Акопян: Задачи для школьного математического кружка. Problem 1.2, S. 4 (rkarasev.ru [PDF]). 
2. ↑ 6. Лемма о трезубце. (PDF) СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова – школа им. А.Н. Колмогорова, 29. Oktober 2014; abgerufen im 1. Januar 1. 
3. ↑ И. А. Кушнир: Это открытие – золотой ключ Леонарда Эйлера. (PDF; 186 kB) Ф7 (Теорема трилистника), S. 34; Beweis auf S. 36
4. ↑ Alexey A. Zaslavsky, Mikhail B. Skopenkov: Mathematics via Problems: Part 2: Geometry. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-4879-0. S. 15
5. ↑ Evan Chen: Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-6620-6, S. 9–10 (Auszug Google)
6. ↑ Eric W. Weisstein: Incenter-Excenter Circle. In: MathWorld (englisch).