Satz von Datko-Pazy

Der Satz von Datko-Pazy ist ein Resultat aus der Funktionalanalysis über die Stabilität von C 0 {\displaystyle C_{0}} -Halbgruppen auf Banach-Räumen. Das Theorem findet Anwendung in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Der Satz ist nach Richard Frank Datko und Amnon Pazy benannt. Datko bewies den Satz zuerst für den Fall p = 2 {\displaystyle p=2} und Pazy verallgemeinert ihn dann auf p ∈ [ 1 , ∞ ) {\displaystyle p\in [1,\infty )} .

Es existieren Verallgemeinerungen, zum Beispiel von Zabczyk ([1]), Rolewicz ([2]) sowie eine stochastische Variante ([3]).

Satz von Datko-Pazy

Sei ( T ( t ) ) t ≥ 0 {\displaystyle (T(t))_{t\geq 0}} eine C 0 {\displaystyle C_{0}} -Halbgruppe auf einem Banach-Raum ( E , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (E,\|\cdot \|)} .

Gleichmäßige exponentielle Stabilität

( T ( t ) ) t ≥ 0 {\displaystyle (T(t))_{t\geq 0}} ist gleichmäßig exponentiell stabil, wenn zwei Konstanten M > 1 {\displaystyle M>1} und s > 0 {\displaystyle s>0} existieren, so dass

‖ T ( t ) ‖ ≤ M e − s t {\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{-st}}

für alle t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} .

Aussage

Falls für ein p ∈ [ 1 , ∞ ) {\displaystyle p\in [1,\infty )} gilt

∫ 0 ∞ ‖ T ( t ) x ‖ p d t < ∞ ,  für alle  x ∈ E , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\mathrm {d} t<\infty ,{\text{ für alle }}x\in E,}

d. h. T ( t ) x ∈ L p ( R , E ) {\displaystyle T(t)x\in L^{p}(\mathbb {R} ,E)} für alle x ∈ E {\displaystyle x\in E} , dann ist ( T ( t ) ) t ≥ 0 {\displaystyle (T(t))_{t\geq 0}} gleichmäßig exponentiell stabil.[4]

Literatur

  • Walter Littman: A generalization of a theorem of datko and pazy. In: Springer Berlin Heidelberg (Hrsg.): Advances in Computing and Control. 1989, ISBN 978-3-540-46260-6, S. 318–323. 
  • Jan van Neerven: Lower semicontinuity and the theorem of Datko and Pazy. In: Integral Equations and Operator Theory. Band 42, 2002, S. 482–492, doi:10.1007/BF01270925. 

Einzelnachweise

  1. ↑ J. Zabczyk: Remarks on the control of discrete-time distributed parameter systems. In: SIAM J. Control. Band 12, 1974, S. 721–735. 
  2. ↑ S. Rolewicz: On uniform N-equistability. In: J. Math. Anal. Appl. Band 115, 1986, S. 434–441. 
  3. ↑ Bernhard Haak, Jan van Neerven und Mark Veraar: A stochastic Datko–Pazy theorem. In: Journal of Mathematical Analysis and Applications. Band 329, Nr. 2, 2007, S. 1230–1239, doi:10.1016/j.jmaa.2006.07.051. 
  4. ↑ Walter Littman: A generalization of a theorem of datko and pazy. In: Springer Berlin Heidelberg (Hrsg.): Advances in Computing and Control. 1989, ISBN 978-3-540-46260-6, S. 318--323.