Der Satz von Stolz, stolzsche Grenzwertsatz oder Satz von Stolz-Cesàro handelt von Grenzwerten in der Mathematik. Er ist benannt nach dem österreichischen Mathematiker Otto Stolz (1842–1905) und dem italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859–1906).
Satz
Sind
und
Folgen in
mit
und
streng monoton fallend oder
und
streng monoton wachsend
und existiert der Grenzwert
,
dann gilt:
.
Beweis des zweiten Falls
Nach der Annahme der Konvergenz der Differenzenquotienten mit einem Grenzwert
existiert für jedes
ein
, sodass für alle
der Differenzenquotient zum Index
in der Umgebung
liegt. Es gibt also für jedes
ein
mit
;
für
gilt
.
Summiert man diese Beziehungen nach
von
bis
, so erhält man die Gleichung
.
Somit gilt für den Quotienten der Folgenglieder
![{\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)c+\sum _{k=N+1}^{n}{\frac {b_{k}-b_{k-1}}{b_{n}}}\,\eta _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47cbde50ea3bb686ea9791d7c4e53c0718644a4b)
Der erste Summand der rechten Seite konvergiert gegen null, da die Folge
unbeschränkt wächst. Aus demselben Grunde konvergiert der zweite Summand gegen
. Aufgrund der Monotonie der Folge
gilt für den dritten Summanden
.
Man kann nun ein
finden, sodass für alle
auch in den ersten zwei Summanden die Differenz zum Grenzwert durch
beschränkt ist, für alle
erhält man dann die Abschätzung
,
somit konvergiert die Folge der Quotienten gegen
.
Zur Umkehrung
Die Umkehrung des obigen Satzes ist im Allgemeinen falsch. Betrachtet man die beiden Folgen
![{\displaystyle (a_{k})=(10,10,100,100,1000,1000,\dotsc )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3551f0117f57b79ca03bb2106a812abefddd5200)
![{\displaystyle (b_{k})=(10,11,100,101,1000,1001,\dotsc ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10db748b6f3ef9663e19f33ae5f31c8ec62b107)
dann gilt
. Die Folge
hat jedoch keinen Grenzwert.
Gegeben seien zwei weitere Folgen
und
derart, dass
und
. Weiterhin sei
streng monoton und unbeschränkt wachsend.
Aus
![{\displaystyle {\frac {r_{n}}{d_{n}}}={\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}\to c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fae1af6a7d9a71d1e05996f1ca7b2a30752044)
folgt dann
.
Die oben genannten Voraussetzungen an
werden z. B. erfüllt von
- der harmonischen Folge
, d. h.
, - jeder Folge mit positivem Grenzwert, wie
, d. h.
, - jeder monoton wachsenden Folge, wie
, d. h.
.
Bemerkungen
Ein Spezialfall ist der Cauchysche Grenzwertsatz, dass also die Folge der Cesàro-Mittel einer konvergenten Folge wieder gegen den Grenzwert der Folge konvergiert.
In gewisser Weise stellt der Satz von Stolz für die Grenzwertberechnung bei Folgen ein Analogon zur Regel von de L’Hospital für die Grenzwertberechnung von Funktionen dar.
Literatur
- Marian Mureşan: A Concrete Approach to Classical Analysis. Springer, 2008, ISBN 978-0-387-78932-3, S. 85–88 (Auszug (Google))
- A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Real Analysis on Intervals. Springer, 2014, ISBN 978-81-322-2148-7, S. 59–62 (Auszug (Google))
- J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital’s Rule. In: Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1, Februar 2012, S. 52–60, doi:10.4169/math.mag.85.1.52 (JSTOR:10.4169/math.mag.85.1.52)
Weblinks
- Gabriel Nagy: The Stolz-Cesaro Theorem. (PDF)
- Übungszettel mit Anleitung zum Beweis (PDF; 49 kB)
- L’Hopital’s theorem and Cesaro-Stolz’s theorem auf imomath.com