Smarandache-Funktion

In der Mathematik ist die Smarandache-Funktion eine Folge bzw. eine zahlentheoretische Funktion, die mit der Fakultät verwandt ist. Historisch gesehen wurde sie zuerst von Édouard Lucas^[1] (1883), Joseph Neuberg^[2] (1887) und Aubrey J. Kempner^[3] (1918) betrachtet. 1980^[4] wurde sie von Florentin Smarandache „wiederentdeckt“.

Die Smarandache-Funktion ${\displaystyle \mu (n)}$ ist definiert als die kleinste natürliche Zahl, für die ${\displaystyle n}$ die Fakultät von ${\displaystyle \mu (n)}$ teilt.

Formal ist ${\displaystyle \mu (n)}$ also die kleinste natürliche Zahl, für die gilt

${\displaystyle n\;|\;\mu (n)!}$

Ist zum Beispiel der Wert ${\displaystyle \mu (8)}$ gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, … zu suchen, die durch 8 teilbar ist. Da ${\displaystyle \,1!=1}$ und ${\displaystyle 2!=1\cdot 2=2}$ und ${\displaystyle 3!=1\cdot 2\cdot 3=6}$ nicht durch acht teilbar sind, ${\displaystyle 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24=3\cdot 8}$ aber doch, ist ${\displaystyle \,\mu (8)=4}$.

Allerdings ist etwa ${\displaystyle \mu (7)=7}$, da die Zahl 7 keine der Zahlen 1!, 2!, …, 6! teilt, während sie 7! trivialerweise teilt.

Die ersten Werte sind:^[5]

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
${\displaystyle \mu (n)}$	1 (*)	2	3	4	5	3	7	4	6	5	11	4	13	7	5	6	17	6	19	5	7	11	23	4	10	13	9	7	29

(*) Der Wert ${\displaystyle \mu (1)}$ wird von manchen Autoren auch als 0 definiert.

Trivialerweise gilt

${\displaystyle \,\mu (n)\leq n,}$

da ja ${\displaystyle n}$ auf jeden Fall ${\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!}$ teilt.

Ein grundlegendes Resultat ist, dass Gleichheit in der obigen Ungleichung genau für prime ${\displaystyle n}$ oder ${\displaystyle n=4}$ eintritt:

${\displaystyle \mu (n)=n\qquad \Leftrightarrow \qquad n{\text{ prim}}\quad {\text{oder}}\quad n=4}$

Beweis:

${\displaystyle \Rightarrow }$: Sei ${\displaystyle \mu (n)=n}$ und ${\displaystyle n}$ nicht prim. Dann ist ${\displaystyle n=4}$ zu zeigen. Da ${\displaystyle n}$ nicht prim ist, gibt es natürliche Zahlen ${\displaystyle 2\leq s\ \leq t<n}$ mit ${\displaystyle n=st}$. Wäre sogar ${\displaystyle s<t}$, so wäre ${\displaystyle n=st|t!}$ und man erhielte den Widerspruch ${\displaystyle \mu (n)\leq t<n}$. Also ist ${\displaystyle s=t}$ und daher ${\displaystyle n=t^{2}}$. Wäre ${\displaystyle 2<t}$, so folgte ${\displaystyle t<2t<t^{2}=n}$, also ${\displaystyle t<2t\leq n-1}$ und damit ${\displaystyle n=t^{2}|t\cdot 2t|(2t)!|(n-1)!}$, und man hätte erneut den Widerspruch ${\displaystyle \mu (n)<n}$. Daher muss ${\displaystyle t=2}$ sein und es folgt ${\displaystyle n=4}$.

${\displaystyle \Leftarrow }$: Ist ${\displaystyle n}$ prim, so teilt ${\displaystyle n}$ keine Zahl ${\displaystyle m!}$ für ${\displaystyle m<n}$, da ${\displaystyle n}$ per def. nicht in ${\displaystyle m!}$ vorkommt. Daher gilt ${\displaystyle \mu (n)=n}$. ${\displaystyle \mu (4)=4}$ ist klar.

Übrigens ergibt sich dadurch für ${\displaystyle \pi (x)}$, die Anzahl der Primzahlen kleinergleich ${\displaystyle x}$ und der Ganzzahlfunktion:

${\displaystyle \pi (x)=-1+\sum _{k=2}^{x}\left\lfloor {\frac {\mu (k)}{k}}\right\rfloor }$.

Nach Paul Erdős stimmt ${\displaystyle \mu (n)}$ mit dem größten Primfaktor von ${\displaystyle n}$ überein für asymptotisch fast alle ${\displaystyle n}$, d. h. die Anzahl der Zahlen kleiner gleich ${\displaystyle n}$, für die dies nicht gilt, ist o(n).

Allgemein gilt ferner

${\displaystyle \,\mu (n!)=n}$

und

${\displaystyle \mu (n)\geq \mathrm {gpf} (n)}$

wobei ${\displaystyle {\rm {gpf}}}$ für den größten Primfaktor von ${\displaystyle n}$ stehe.

Ganz allgemein gilt

${\displaystyle \mu \left(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\alpha _{n}}\right)=\max \left[\mu \left(p_{1}^{\alpha _{1}}\right),\mu \left(p_{2}^{\alpha _{2}}\right),\ldots ,\mu \left(p_{n}^{\alpha _{n}}\right)\right]}$

Für (gerade) vollkommene Zahlen ${\displaystyle n}$ gilt außerdem (${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,p{\text{ prim}}}$)^[6]

${\displaystyle \mu (n)=\mu (2^{k-1}\cdot (2^{k}-1))=2^{k}-1=p}$

Die Pseudosmarandache-Funktion ${\displaystyle Z(n)}$ ist die kleinste ganze Zahl, für die

${\displaystyle n\;\;{\text{teilt}}\;\;1+2+3+\cdots +Z(n),}$

also das kleinste natürliche ${\displaystyle n}$, für das gilt

${\displaystyle n\;\;\left|\;\;{\frac {Z(n)(Z(n)+1)}{2}}\right.}$

(siehe auch Dreieckszahl, Gaußsche Summenformel)

Die ersten Werte sind

1, 3, 2, 7, 4, 3, 6, 15, 8, 4, 10, 8, 12, 7, 5, 31, 16, 8, 18, 15, … (Folge A011772 in OEIS)

Einige Eigenschaften:^[7]

• ${\displaystyle {\sqrt {n}}<Z(n)\leq 2n-1}$
• ${\displaystyle Z(n)\leq n-1\qquad {\text{für ungerade }}n}$
• ${\displaystyle Z(2^{k})=2^{k+1}-1\,}$
• ${\displaystyle {\frac {Z(n+1)}{Z(n)}}{\text{ und }}{\frac {Z(n-1)}{Z(n)}}{\text{ und }}{\frac {Z(2n)}{Z(n)}}}$ sind nach oben hin unbegrenzt
• ${\displaystyle {\frac {n}{Z(n)}}=k\;(k\in \mathbb {Z} ,k\geq 2)}$ hat unendlich viele Lösungen für ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{Z(n)^{\alpha }}}}$ konvergiert für alle ${\displaystyle \alpha >1}$

Ersetzt man in der Definition die Fakultät durch die Doppelfakultät

${\displaystyle n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 2&{\text{für }}n{\text{ gerade,}}\\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 1&{\text{für }}n{\text{ ungerade,}}\end{cases}}}$

so ist ${\displaystyle \mathrm {Sdf} (n)}$

die kleinste natürliche Zahl, die durch ${\displaystyle \mathrm {Sdf} (n)!!}$ teilbar ist.

Die ersten Werte für ${\displaystyle \mathrm {Sdf} (n)}$ sind

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 9, 10, 11, 6, 13, 14, 5, 6, … (Folge A007922 in OEIS)

Das Primorial (auch Primfakultät, ${\displaystyle p_{\#}}$) ist das Produkt der Primzahlen kleinergleich der gegebenen Zahl. Die Smarandache Near-to-Primorial Function^[8] von ${\displaystyle n}$ ist dann die kleinste Primzahl, für die ${\displaystyle p_{\#}+1}$, ${\displaystyle p_{\#}-1}$ oder ${\displaystyle p_{\#}}$ durch ${\displaystyle n}$ teilbar ist.

Für die Smarandache-Kurepa-Funktion ${\displaystyle \mathrm {SK} (n)}$ wandle man die Fakultät nicht zur Doppelfakultät, sondern zu folgender Funktion ab:

${\displaystyle f(n)=\sum _{k=0}^{n-1}k!=0!+1!+2!+\ldots +(n-1)!}$

Für prime ${\displaystyle p}$ ist ${\displaystyle \mathrm {SK} (p)}$ analog die kleinste natürliche Zahl, sodass ${\displaystyle f(\mathrm {SK} (p))}$ durch ${\displaystyle p}$ teilbar ist.^[9]

Die ersten Werte sind 2, 4, 6, 6, 5, 7, 7, 12, 22, 16, 55 und bilden Folge A049041 in OEIS.

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion verwendet stattdessen^[10]

${\displaystyle f(n)=\sum _{k=1}^{n}k!=1!+2!+\ldots +n!}$

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion k-ter Ordnung ${\displaystyle S_{k}(n)}$ schließlich ist als die kleinste natürliche Zahl definiert, für die ${\displaystyle \,[S_{k}(n)]^{k}}$ durch ${\displaystyle n}$ teilbar ist.^[11]

Die ersten Werte:

${\displaystyle k}$	${\displaystyle S_{k}(n)}$
1	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …	${\displaystyle n}$
2	1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, …	(Folge A019554 in OEIS)
3	1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, …	(Folge A019555 in OEIS)
4	1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, …	(Folge A053166 in OEIS)

• Tutescu^[12] vermutete, dass für zwei aufeinanderfolgende Zahlen deren Werte der Smarandache-Funktion stets verschieden sind:

${\displaystyle \mu (n)\not =\mu (n+1)\qquad \quad {\text{für alle }}n}$

Die Vermutung wurde bis ${\displaystyle 10^{9}}$ bestätigend nachgerechnet.

• Es gibt eine recht große Vielfalt konvergenter Reihen, die die Smarandache-Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden oft als Smarandache-Konstanten bezeichnet – nicht zu verwechseln mit der Smarandache-Konstante in der verallgemeinerten Andricaschen Vermutung.

Die Reihe der Kehrwerte der Fakultäten der Smarandache-Funktion konvergiert (erste Smarandache-Konstante):

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)!}}=1{,}09317\dots }$ (Folge A048799 in OEIS)

• Kenichiro Kashihara: Comments and topics on Smarandache notions and problems. (PDF; 1,6 MB) Erhus University Press 1996, ISBN 1-87958-555-3.
• Norbert Hungerbühler, Ernst Specker: A Generalisation of the Smarandache Function to Several Variables. (PDF; 220 kB) In: Electronic Journal of Combinatorical Number Theory, 6, 2006, #A23.
• C. Dumitrescu, N. Virlan, St. Zamfir, E. Radescu, N. Radescu, F.Smarandache: Smarandache Type Function Obtained by Duality. In: Studii si Cercetari Stiintifice, Seria: Matematica, University of Bacau, No. 9, 1999, S. 49–72, arxiv:0706.2858.
• Sebastian Martin Ruiz, M. L. Perez: Properties and Problems related to Smarandache Type Functions. In: Mathematics Magazine for grades 1-12, 2/2004, S. 46–53, arxiv:math/0407479.

• Eric W. Weisstein: Smarandache Function. In: MathWorld (englisch).
• Das Smarandache Function Journal, fs.gallup.unm.edu – Vol. 1 (PDF; 1,6 MB), Vol. 6 (PDF; 2,6 MB)
• und Smarandache Notions Journal – Vol. 7 (PDF; 5,4 MB), Vol. 8 (PDF; 8,8 MB), Vol. 9 (PDF; 5,0 MB), Vol. 10 (PDF; 7,3 MB), Vol. 11 (PDF; 10,8 MB), Vol. 12 (PDF; 12,5 MB), Vol. 13 (PDF; 11,1 MB)

1. ↑ E. Lucas: Question Nr. 288. In: Mathesis, 3, 1883, S. 232
2. ↑ J. Neuberg: Solutions de questions proposées, Question Nr. 288. In: Mathesis, 7, 1887, S. 68–69
3. ↑ Aubrey J. Kempner: Miscellanea. In: American Mathematical Monthly, 25, 1918, S. 201–210, doi:10.2307/2972639
4. ↑ Florentin Smarandache: A Function in Number Theory. In: An. Univ. Timişoara, Ser. St. Mat., 18, 1980, S. 79–88. arxiv:math/0405143
5. ↑ Folge A002034 in OEIS
6. ↑ Sebastián Martín Ruiz: Smarandache’s function applied to perfect numbers. In: Smarandache Notions Journal, Vol. 10, Frühjahr 1999, S. 114. arxiv:math/0406241
7. ↑ R.G.E. Pinch: arxiv:math/0504118 in arXiv, 6. April 2005
8. ↑ Eric W. Weisstein: Smarandache Near-to-Primorial Function. In: MathWorld (englisch).
9. ↑ Eric W. Weisstein: Smarandache-Kurepa Function. In: MathWorld (englisch).
10. ↑ Eric W. Weisstein: Smarandache-Wagstaff Function. In: MathWorld (englisch).
11. ↑ Eric W. Weisstein: Smarandache Ceil Function. In: MathWorld (englisch).
12. ↑ L. Tutescu: On a Conjecture Concerning the Smarandache Function. Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society 17, S. 583, 1996