Tate-Vermutung

In der Mathematik ist die Tate-Vermutung ein 1983 von Gerd Faltings bewiesener Lehrsatz der arithmetischen Geometrie, der 1963 von John Tate vermutet worden war.

Der Beweis der Tate-Vermutung war Teil des Beweises der Schafarewitsch-Vermutung, aus der wiederum die Mordell-Vermutung folgt. Die Schafarewitsch-Vermutung besagt, dass es für eine endliche Menge ${\displaystyle S}$ von Primidealen in einem Zahlkörper nur endlich viele Isomorphieklassen von Kurven gegebenen Geschlechts mit guter Reduktion außerhalb ${\displaystyle S}$ gibt. Wegen des Prinzips beschränkter Höhe genügt es dafür, die Beschränktheit der Höhen der zu den Kurven assoziierten Jacobi-Varietäten zu zeigen. Mit der Tate-Vermutung kann man das auf den Fall zurückführen, dass die Jacobi-Varietäten alle isogen sind.

Sei ${\displaystyle X}$ eine abelsche Varietät über einem Zahlkörper ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle V_{l}(X)}$ ihr Tate-Modul tensoriert mit ${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$ für eine Primzahl ${\displaystyle l}$. Dann ist die natürliche Abbildung

${\displaystyle \operatorname {End} (X)\otimes \mathbb {Q} _{l}\to \operatorname {End} (V_{l}(X))^{\operatorname {Gal} ({\overline {k}}/k)}}$

ein Isomorphismus.

Die allgemeinere, noch unbewiesene Version der Tate-Vermutung besagt, dass die Zykelklassenabbildung

${\displaystyle A^{r}(X)\otimes \mathbb {Q} _{l}\to H^{2r}({\overline {X}},\mathbb {Q} _{l})^{Gal({\overline {k}}/k)}}$

für alle ${\displaystyle r}$ ein Isomorphismus ist. Der von Faltings bewiesene Fall entspricht ${\displaystyle r=1}$. Aus der allgemeinen Vermutung folgt die Hodge-Vermutung für abelsche Varietäten.

• J. Tate: Endomorphisms of Abelian varieties over finite fields. Invent. Math. 2, 134–144 (1966).
• G. Faltings: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Invent. Math. 73, 349–366 (1983); Erratum ibid. 75, 381 (1984).