In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet.[1] Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
1Definition
2Spezialisierungen
3Eigenschaften
4Reihenformeln
5Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen
6Siehe auch
7Quellen
Definition
Für eine natürliche Zahl ist definiert:
.
Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von , einschließlich und . Beispielsweise ist demnach
Spezialisierungen
ist die Teileranzahlfunktion,
ist die Teilersumme.
Eigenschaften
Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ1Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ2Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ3
ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde gilt: .
Dies kann man sich klarmachen, in dem man die rechte Summe als schreibt: Wenn man nun durch substituiert, werden genau die Summanden der Summe um 1 größer, die teilen.
Zwei Dirichletreihen mit der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291)[3]
für
was speziell für d(n) = σ0(n) ergibt:
für
und (S. 292, Satz 305)
Eine Lambert-Reihe mit der Teilerfunktion ist:
für beliebiges komplexes |q| ≤ 1 und a.
Die Teilerfunktion lässt sich für mittels Ramanujansummen auch explizit als Reihe darstellen:[4]
Die Berechnung der ersten Werte von zeigt das Schwanken um den "Mittelwert" :
Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen
Ein wesentlicher Bestandteil der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen von Gewicht , gerade, sind die Teilerfunktionen . Aus Relationen zwischen den Eisensteinreihen können die Werte einiger Faltungen von Teilerfunktionen hergeleitet werden, so ist zum Beispiel für alle :[5]
Siehe auch
Hochzusammengesetzte Zahl
Quellen
↑Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).
↑E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S.134.
↑Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S.285, 292.
↑E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S.130.
↑Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1990, S.140.