In der Mathematik ist die Vermutung von Falconer eine 1985 von Kenneth J. Falconer aufgestellte Vermutung, die beantworten soll, wie groß die Dimension einer Menge sein muss, damit die Menge ihrer Abstände positives Volumen hat. Sie verallgemeinert den Satz von Steinhaus.
Die Vermutung von Falconer besagt, dass für eine kompakte Menge
der Hausdorff-Dimension größer als
die Menge
![{\displaystyle \Delta (E)=\left\{\vert x-y\vert \colon x,y\in E\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cac71952cd362b3ce2d774f580d8a7284b174f2)
positives Lebesgue-Maß hat.
Optimalität
Sei
. Dann ist
, während die Anzahl
durch die Anzahl der Werte von
mit
beschränkt ist, also durch
. Es folgt
.
Sei
und
für
die
-Umgebung von
, sowie
. Die Hausdorff-Dimension von
ist
, andererseits ist das Lebesgue-Maß von
höchstens
, kann für
also Null werden.
Der Exponent
in der Vermutung von Falconer lässt sich also nicht verbessern.
Literatur
- Alex Iosevich: "What is ... Falconer's conjecture?", Notices of the American Mathematical Society, 66 (4): 552–555, 2019