Verschobene Pareto-Verteilung

Die verschobene Pareto-Verteilung, auch Lomax-Verteilung genannt, ist eine in der mathematischen Statistik betrachtete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die besonders zur Modellierung von Großschäden geeignet ist, insbesondere bei Industrie- und Rückversicherungen. Mathematisch handelt es sich hierbei um eine Pareto-Verteilung, deren Verteilungskurve um einen festen Parameterwert verschoben ist, woraus sich der Name dieser Verteilung ableitet.

Eine stetige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ genügt der verschobenen Pareto-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Par^{\star }} (a,b)}$ mit den Parametern ${\displaystyle a>0}$ und ${\displaystyle b>0}$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}ab(1+bx)^{-(a+1)}&x\geq 0\\0&x<0.\end{cases}}}$

besitzt. Hierbei ist ${\displaystyle {\frac {1}{b}}}$ ein Skalenparameter der Verteilung.

Die Verteilungsfunktion ist für ${\displaystyle x\geq 0}$ gegeben durch

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=1-(1+bx)^{-a}}$.

Insbesondere gilt damit für die Überlebensfunktion: ${\displaystyle P(X>x)=1-F(x)=(1+bx)^{-a}}$.

Der Erwartungswert ergibt sich zu:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{b(a-1)}}.}$

Die Varianz ist angebbar als

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{b^{2}}}\left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)={\frac {a}{b^{2}(a-1)^{2}(a-2)}}.}$

Aus Erwartungswert und Varianz ergibt sich die Standardabweichung

${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}\left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)}}={\frac {1}{b(a-1)}}{\sqrt {\frac {a}{a-2}}}.}$

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {a}{a-2}}}.}$

Für die Schiefe resultiert

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {\displaystyle {\frac {a}{a-3}}-3{\frac {a^{2}}{(a-2)(a-1)}}+2{\frac {a^{3}}{(a-1)^{3}}}}{\displaystyle \left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Die charakteristische Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Die momenterzeugende Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

• Klaus Jürgen Schröter: Verfahren zur Approximation der Gesamtschadenverteilung: Systematisierung, Techniken und Vergleiche. Band 1 von Karlsruher Reihe, Beiträge zur Versicherungswissenschaft, Verlag Versicherungswirtsch., 1995, ISBN 978-3-88487-471-4, S. 35.