Der Begriff des Witt-Rings
stammt aus der Algebra. Er soll die quadratischen Räume über einem Ring
, d. h. die
-Moduln mit symmetrischer Bilinearform, zusammenfassen. Er wurde 1937 von Ernst Witt eingeführt.[1]
Definition für beliebige Ringe
Sei
ein kommutativer Ring.
Die Menge der quadratischen Räume, d. h. der
-Moduln mit symmetrischer Bilinearform, hat eine Ringstruktur mit der orthogonalen direkten Summe
als Addition und dem Tensorprodukt
als Multiplikation. Man bezeichnet zwei quadratische Räume
als stabil äquivalent, wenn es
gibt, so dass
isomorph zu
ist.
Stabile Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet mit den durch
und
induzierten Verknüpfungen einen Ring, der als Witt-Ring
bezeichnet wird.
Äquivalente Definition für Körper
Sei
ein Körper der Charakteristik
. Als hyperbolische Ebene
bezeichnet man den
mit der symmetrischen Bilinearform
, als metabolische quadratische Form eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen.
Für solche Körper kann der Witt-Ring
äquivalent definiert werden als Menge der Äquivalenzklassen für die Äquivalenzrelation:
und
sind äquivalent, wenn es eine metabolische quadratische Form
mit
oder
gibt.
Beispiele
- Für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper
ist
. - Für den Körper der reellen Zahlen ist
. - Für den Ring der ganzen Zahlen ist
. - Für den Körper der rationalen Zahlen ist
(schwache Form des Satzes von Hasse-Minkowski). - Für einen endlichen Körper
mit
ist
.[2] - Für einen endlichen Körper
mit
ist
. - Für einen lokalen Körper
mit Maximalideal
der Norm
ist
. - Für einen lokalen Körper
mit Maximalideal
der Norm
ist
. - Für jeden Körper
wird der Torsionsanteil von
von Pfister-Formen erzeugt. Die Ordnung jedes Torsionselements ist eine Zweierpotenz.
Literatur
Einzelnachweise
- ↑ Witt, Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern, J. Reine Angew. Math., Band 176, 1937, S. 31–44
- ↑ Winfried Scharlau (1985): Quadratic and Hermitian Forms, p.40, und Martin Kneser (2002): Quadratische Formen, S. 53.