Zyklische Anordnung

Eine zyklische Anordnung ist eine Anordnung auf einem Kreis (bzw. Kreis (Graphentheorie)). Beispielsweise sind Uhrzeiten, Wochentage oder Monate zyklisch angeordnet.

Eine zyklische Anordnung auf einer Menge ${\displaystyle X}$ ist eine Relation ${\displaystyle R\subset X^{3}}$ auf Tripeln von Elementen aus ${\displaystyle X}$ mit folgenden Eigenschaften:

• Wenn ${\displaystyle \left[a,b,c\right]}$ zyklisch angeordnet ist, dann auch ${\displaystyle \left[b,c,a\right]}$.
• Wenn ${\displaystyle \left[a,b,c\right]}$ zyklisch angeordnet ist, dann ist ${\displaystyle \left[b,a,c\right]}$ nicht zyklisch angeordnet.
• Wenn ${\displaystyle \left[a,b,c\right]}$ und ${\displaystyle \left[a,c,d\right]}$ zyklisch angeordnet sind, dann ist auch ${\displaystyle \left[a,b,d\right]}$ zyklisch angeordnet.
• Wenn ${\displaystyle a,b,c}$ unterschiedliche Elemente sind, dann ist entweder ${\displaystyle \left[a,b,c\right]}$ oder ${\displaystyle \left[c,b,a\right]}$ zyklisch angeordnet.

Wenn ${\displaystyle X}$ linear angeordnet ist, dann hat man auch eine zyklische Anordnung durch

${\displaystyle \left[a,b,c\right]\Longleftrightarrow a<b<c{\mbox{ oder }}b<c<a{\mbox{ oder }}c<a<b}$.

Für eine zyklische Anordnung kann man zu jedem ${\displaystyle x\in X}$ eine lineare Anordnung auf ${\displaystyle X\setminus \left\{x\right\}}$ definieren durch

${\displaystyle a<_{x}b\Longleftrightarrow \left[x,a,b\right]}$.

Für zwei Elemente ${\displaystyle x,y\in X}$ stimmen die so definierten linearen Anordnungen auf ${\displaystyle X\setminus \left\{x,y\right\}}$ überein mit der Ausnahme von ${\displaystyle a<_{x}y<_{x}b\Leftrightarrow b<_{y}x<_{y}a}$.

• Zyklisch angeordnete Gruppe

• E. Huntington: A Set of Independent Postulates for Cyclic Order, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2 (11): 630–631, 1916.