Carácter de Dirichlet
En teoría de números, los caracteres de Dirichlet son un cierto tipo de funciones aritméticas que derivan de caracteres completamente multiplicativos sobre las unidades . Los caracteres de Dirichlet son usados para definir las Funciones L de Dirichlet, las cuales son funciones meromorfas, con una variedad interesante de propiedades analíticas. Si es un carácter de Dirichlet, se define su serie L de Dirichlet de la siguiente manera:
donde s es un número complejo con la parte real > 1. Por continuación analítica, esta función puede ser extendida a una función meromorfa en todo el plano complejo. Las funciones L de Dirichlet son generalizaciones de la función zeta de Riemann y aparecen en la hipótesis generalizada de Riemann.
Los caracteres de Dirichlet y sus L-series fueron introducidos por Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, en 1831, con el fin de demostrar el teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas. Sólo los estudió para s reales y sobre todo cuando s tiende a 1. La extensión de estas funciones a s complejos en el completo plano complejo fue obtenida por Bernhard Riemann en 1859.
Definición axiomática
Un carácter de Dirichlet es cualquier función χ de números enteros a números complejos con las siguientes propiedades:
- Existe un entero positivo k tal que χ(n) = χ(n + k) para todo n.
- Si mcd (n,k) > 1 entonces χ(n) = 0; si mcd(n,k) = 1 entonces χ(n) ≠ 0.
- χ(mn) = χ(m)χ(n) para todo los enteros m y n.
Estas consecuencias son importantes:
Por la propiedad 3), χ(1)=χ(1×1)=χ(1)χ(1); puesto que mcd(1, k) = 1, por la propiedad 2) se tiene que χ(1) ≠ 0, así que
- 4. χ(1) = 1.
Las propiedades 3) y 4) muestran que cada carácter es completamente multiplicativo.
La propiedad 1) dice que un carácter es periódico con periodo k; se dice que χ es un carácter según el modulus k. Esto es equivalente a decir que
- 5. Si a ≡ b (mod k) entonces χ(a) = χ(b).
Si el mcd(a,k) = 1, el teorema de Euler dice que aφ(k) ≡ 1 (mod k) (donde φ(k) es la función φ de Euler). Por lo tanto, por 5) y 4), χ(aφ(k)) = χ(1) = 1, y por 3), χ(aφ(k)) =χ(a)φ(k). Así que
- 6. Para todo a primo relativo con k, χ(a) es una φ(k)-ésima raíz de la unidad compleja.
El único carácter de periodo 1 se llama carácter trivial. Nótese que cualquier carácter se anula en 0 excepto el carácter trivial, el cual es 1 para todos los enteros.
Un carácter es llamado principal si éste da el valor 1 para argumentos que sean coprimos con sus módulos y que de otra manera sean 0. Un carácter es llamado real si toma valores reales únicamente. Un carácter que no es real es denominado complejo.
El signo de un carácter χ depende de su valor en −1. Específicamente, se dice que χ es impar si χ(−1) = −1 y par si χ(−1) = 1.
Véase también
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Dirichlet Character». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Datos: Q1063579