Cardinal límite

En teoría de conjuntos, los cardinales límite son un tipo especial de cardinales:

• Un número cardinal λ es un cardinal límite débil si λ no es ni un cardinal sucesor ni cero. Esto significa que uno no puede "llegar" a λ por un proceso reiterado de buscar el número cardinal siguiente (por esa razón todos los números naturales no son cardinales límites, ya que se puede llegar a ellos a partir de un número anterior reiterativamente). Estos cardinales a veces se llaman simplemente "cardinales límites" cuando el contexto está claro.
• Un número cardinal es un cardinal límite fuerte si λ no puede ser alcanzado mediante aplicaciones reiteradas de exponenciación. Esto significa que λ > 0 y que, para todo κ < λ, 2^κ < λ. Todo cardinal límite fuerte es también un cardinal límite débil, porque κ⁺ ≤ 2^κ para cualquier cardinal κ, donde κ⁺ designa el sucesor del cardinal κ.

El primer cardinal infinito, ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (álef 0), es un cardinal límite fuerte y por tanto también un cardinal límite débil.

Una manera de construir cardinales límite es mediante la operación de unión. Por ejemplo, álef omega ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ es un cardinal límite débil, definido como la unión de todos los álef más pequeños que él (recuérdese que un número cardinal puede concebirse como un conjunto transitivo); y en general ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ para cualquier ordinal límite es un cardinal límite débil.

La función ב puede usarse para obtener cardinales límite fuertes. Esta función se define como una aplicación de los ordinales en los cardinales mediante la siguiente definición recursiva:

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$ (es el ordinal no numerable más pequeño)

Si λ es un oridinal límite, ${\displaystyle \beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}$

El cardinal

${\displaystyle \beth _{\omega }=\bigcup \{\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\ldots \}=\bigcup _{n<\omega }\beth _{n}}$

es un cardinal límite fuerte de cofinalidad ω. Más en general, dado cualquier ordinal α, el cardinal

${\displaystyle \beth _{\alpha +\omega }=\bigcup _{n<\omega }\beth _{\alpha +n}}$

es un cardinal límite fuerte. Y por tanto, existen cardinales límite fuerte arbitrariamente grandes.

• Cardinal inaccesible
• Cardinal regular

• Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999), Introduction to Set Theory (3 edición), ISBN 0-8247-7915-0 .
• Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (third millennium edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44085-7, doi:10.1007/3-540-44761-X .
• Kunen, Kenneth (1980), Set theory: An introduction to independence proofs, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8 .

• Infinite ink on cardinals