Cota ajustada asintótica

En análisis de algoritmos una cota ajustada asintótica es una función que sirve de cota tanto superior como inferior de otra función cuando el argumento tiende a infinito. Usualmente se utiliza la notación Θ(g(x)) para referirse a las funciones acotadas por la función g(x).

Más formalmente se define:

${\displaystyle \Theta (g(x))=\left\{{\begin{matrix}f(x):{\mbox{existen }}c_{1},c_{2},x_{0}{\mbox{ constantes positivas tales que}}\\\forall x:x_{0}\leq x:0\leq c_{1}g(x)\leq f(x)\leq c_{2}g(x)\end{matrix}}\right\}}$

Una función f(x) pertenece a Θ(g(x)) cuando existen constantes positivas ${\displaystyle c_{1}}$ y ${\displaystyle c_{2}}$ tales que a partir de un valor ${\displaystyle x_{0}}$ f(x) se encuentra atrapada entre ${\displaystyle c_{1}g(x)}$ y ${\displaystyle c_{2}g(x)}$. Quiere decir que las funciones f y g son iguales a partir de un valor dado salvo por una factor constante. Por tanto tiene sentido tomar a g como un representante de f.

A pesar de que Θ(g(x)) está definido como un conjunto, se acostumbra escribir f(x)=Θ(g(x)) en lugar de f(x)∈Θ(g(x)). Muchas veces también se habla de la función x² en lugar de h(x)=x² siempre que esté claro cual es el parámetro de la función dentro de la expresión. En la gráfica se da un ejemplo esquemático de cómo se comportan ${\displaystyle c_{1}g(x)}$ y ${\displaystyle c_{2}g(x)}$ con respecto a f(x) cuando x tiende a infinito.

La cota ajustada asintótica tiene relación con las cotas superior e inferior asintóticas (respectivamente las notaciones O y Ω):

${\displaystyle f(x)=\Theta (g(x)){\mbox{ si y solo si }}f(x)=O(g(x)){\mbox{ y }}f(x)=\Omega (g(x))\,}$

• La función f(x) = x+10 puede ser acotada por la función g(x) = x. Para demostrarlo basta notar que para todo valor de x≥1 se cumple que g(x)≤f(x)≤11g(x), es decir x ≤ x+10 ≤ 11x . Por lo tanto x+10 = Θ(x).

• Cota inferior asintótica
• Cota superior asintótica

• Introduction to Algorithms, Second Edition by Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein