Distribución de Benktander de tipo II

Distribución de Benktander de tipo II
Parámetros	${\displaystyle a>0}$ (real) ${\displaystyle 0<b\leq 1}$ (real)
Dominio	${\displaystyle [1,\infty )\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle e^{{\frac {a}{b}}(1-x^{b})}x^{b-2}\left(ax^{b}-b+1\right)}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle 1-x^{b-1}e^{{\frac {a}{b}}(1-x^{b})}}$
Mediana	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\log(2)}{a}}+1&{\text{si}}\ b=1\\\left(\left({\frac {1-b}{a}}\right)\mathbf {W} \left({\frac {2^{\frac {b}{1-b}}ae^{\frac {a}{1-b}}}{1-b}}\right)\right)^{\tfrac {1}{b}}&{\text{en otro caso}}\ \end{cases}}}$ Donde ${\displaystyle \mathbf {W} (x)}$ es la función W de Lambert[note 1]​
Moda	${\displaystyle 1}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {-b+2ae^{\frac {a}{b}}\mathbf {E} _{1-{\frac {1}{b}}}\left({\frac {a}{b}}\right)}{a^{2}b}}}$ donde ${\displaystyle \mathbf {E} _{n}(x)}$ es la Integral exponencial generalizada[note 1]​
Función característica	media =${\displaystyle 1+{\frac {1}{a}}}$
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La distribución de Benktander de tipo II, también denominada de segunda clase, es uno de los dos tipos de distribuciones introducidas por Gunnar Plantilla:Harvs para modelizar pérdidas con distribuciones de cola pesada en el sector de lo seguros, basándose en diferentes formas de la función de exceso media (Benktander y Segerdahl, 1960). Esta distribución se "asemeja" a una distribución de Weibull (Kleiber y Kotz, 2003).

La función de exceso medio para una distribución de Benktander I puede calcularse explícitamente y viene dada por:

${\displaystyle e_{X}(u)=\mathbb {E} (X-u|X>u)={\frac {u^{1-b}}{a}}}$

• Distribución de Benktander de tipo I

• Kleiber, Christian; Kotz, Samuel (2003). «7.4 Benktander Distributions». Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Science. Wiley Series and Probability and Statistics. John Wiley & Sons. pp. 247–250. ISBN 9780471457169. 
• Benktander, Gunnar; Segerdahl, Carl-Otto (1960). «On the Analytical Representation of Claim Distributions with Special Reference to Excess of Loss Reinsurance». Proceedings of the XVIth International Congress of Actuaries, Brussels, 1960: 626-646. 
• Benktander, Gunnar (1970). «Schadenverteilungen nach Grösse in der Nicht-Lebensversicherung» [Loss Distributions by Size in Non-life Insurance]. Bulletin of the Swiss Association of Actuaries (en alemán): 263-283.