En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:
![{\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0d9d00dc78ceac9a48a362795503a79e1c4e3e)
donde las derivadas parciales de las funciones M y N:
y
son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función
tal que:
![{\displaystyle dF(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12faf8657e1350579ae3568f091108fa1fe4520b)
donde
y
.
Dado que
es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:
.
Método de resolución
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
- Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
- Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:
![{\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+g(y)=\int N\,dy+g(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06747987ef51a6c5c8a7919ea1d645a5f4947875)
- Para despejar la función g se deriva
con respecto a la variable dependiente de g.
![{\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)+{\frac {\partial {g(y)}}{\partial {y}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae60a9502cef669b53e9b028631443e87056d576)
![{\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)+{\frac {\partial {g(x)}}{\partial {x}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1faed4e0dad67975bbcd4e2b5b6be4bcee882f45)
- Se iguala la derivada parcial recién calculada de
con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.
![{\displaystyle N={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)+{\frac {\partial {g(y)}}{\partial {y}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73745ff6ec16833d66aed2c03820ca64235c739e)
![{\displaystyle g(y)=\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83af1b469bed7ab693ac9774959518aa32bf511)
![{\displaystyle M={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)+{\frac {\partial {g(x)}}{\partial {x}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190de29c4e40f27f489da8bccf9578aca2dae95c)
![{\displaystyle g(x)=\int M\,dx-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f92c7ae5521788a30ef345a36d938947a1e57e8f)
- Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general
.
![{\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy=C\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd878bb98dbd056be53523dd7d5ab8084d3b45e)
![{\displaystyle F(x,y)=\int N\,dy+\int M\,dx-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx=C\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5f56c2ff505612ccf95c7f8e6c1db8f040e8ea)
Factor integrante
Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial
llamada factor integrante, tal que:
sea exacta.
Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero solo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:
Factor integrante sólo en función de x.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma
, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:
![{\displaystyle \mu (x)=e^{\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}\,dx}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968feb15cca78d735b99099906994291598b56de)
Cabe decir que para que
exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro
tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que
y
equivalen a las parciales de estas;
y
respectivamente).
- Ejemplo:
, entonces
y por lo tanto
por lo que tenemos la ecuación exacta: ![{\displaystyle (3x^{2}y+x^{3}y+5y^{2})e^{x}dx+(x^{3}+10y)e^{x}dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3525a46396f0a556c43910fdc2ef9f45a926e0ca)
- La solución general viene dada implícitamente por:
![{\displaystyle F(x,y)=(x^{3}y+5y^{2})e^{x}=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11cc714d41bc1993962c72618ca659985ff0a181)
Factor integrante sólo en función de y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma
, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:
![{\displaystyle \mu (y)=e^{\int {\frac {N_{x}-M_{y}}{M}}\,dy}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35dbc10dd1e7b972b2a9629e4e539dd61842afef)
- Ejemplo:
, entonces
y por lo tanto
por lo que tenemos la ecuación exacta: ![{\displaystyle \left(1+3{\frac {x^{2}}{y}}\right)dx+\left(1-{\frac {x^{3}}{y^{2}}}\right)dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad691994468fa62332df99870881512c545be6f7)
- La solución general viene dada implícitamente por:
![{\displaystyle F(x,y)=x+y+{\frac {x^{3}}{y}}=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd7e3a3ce1af41f48db7f40ad60a85378c58cf1)
Factor integrante sólo en función de x+y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma
, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:
Con ![{\displaystyle z=x+y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1750053fdf13ad1ff9280e300c1104a7defa5c1f)
- Ejemplo:
, entonces
y por lo tanto
por lo que tenemos la ecuación exacta: ![{\displaystyle [(x+y)(3xy-y^{2})]dx+[(x+y)(x^{2}-4y^{2}+xy)]dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e696033956d3ed9eeeb1eb82c75b985961183f)
- La solución general viene dada implícitamente por:
![{\displaystyle F(x,y)=(x+y)^{2}(xy-y^{2})=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfa97a08683da8b25c39a84fac406cb9d068274)
Factor integrante sólo en función de x·y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma
, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:
Con ![{\displaystyle z=x\cdot y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20fb1acde70f28275800e6f1372cdcf3dfcf2c9)
Donde
M·x
Cabe mencionar que:
![{\displaystyle M_{y}={\frac {\partial M}{\partial y}},N_{x}={\frac {\partial N}{\partial x}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b084df084fc5f024962c3d55ab9f8ac768fd4da)
- Ejemplo:
, entonces
y por lo tanto
por lo que tenemos la ecuación exacta: ![{\displaystyle {\frac {y+x^{3}y+2x^{2}}{xy+2}}dx+{\frac {x+4xy^{4}+8y^{3}}{xy+2}}dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35025e7abfde70c9cef58273849bf69ac41af69)
- La solución general viene dada implícitamente por:
![{\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{3}}x^{3}+y^{4}+\ln {(xy+2)}=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b011b1cf3dfa863c29f98db155bdf3c7531859)
Factor integrante sólo en función de
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma
, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:
Con ![{\displaystyle z=x^{2}+y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed16aa08fe12e6f8aa79153cb9cef4b9ce51a59)
- Ejemplo:
, entonces
y por lo tanto
por lo que tenemos la ecuación exacta: ![{\displaystyle {\frac {x-y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x+y}{x^{2}+y^{2}}}dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173664ec544b3a9c180b1453d5626ff7feef30df)
- La solución general viene dada implícitamente por:
![{\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}\ln {(x^{2}+y^{2})}-\arctan {\left({\frac {x}{y}}\right)}=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27b168e0f212dbaac14d4e30f97a7be4c20f2e8)
Bibliografía
- Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8.
- Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
- Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.
Véase también
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