Fórmula de De Polignac

En teoría de números, la fórmula de De Polignac, llamada así en honor a Alphonse de Polignac, proporciona una fórmula para la factorización en primos del factorial, donde n ≥ 1 es un número entero. L. E. Dickson atribuye la fórmula a Legendre^[1]​y también se la conoce por esto como fórmula de Legendre. En concreto, la fórmula da una expresión para encontrar con qué exponente contribuye cada primo menor que ${\displaystyle n}$ a la factorización de ${\displaystyle n!}$ y, por tanto, la descomposición en factores primos de ${\displaystyle n!}$.

Sea n ≥ 1 un entero. Podemos expresar ${\displaystyle n!}$ como un producto de números primos factorizándolo. Obtenemos pues que

${\displaystyle n!=\prod _{p{\text{ primo}} \atop p\leq n}p^{s_{p}(n!)}}$

para ciertos primos ${\displaystyle p}$ que contribuyen con exponentes ${\displaystyle s_{p}(n!)}$ (es decir, definimos ${\displaystyle s_{p}(n!)}$ como el exponente de ${\displaystyle p}$ en la descomposición en factores primos de ${\displaystyle n!}$). Claramente, los primos de la descomposición deben ser menores que ${\displaystyle n}$ (pues deben dividir a algún número menor que ${\displaystyle n}$ por definición de factorial).

La fórmula de Legendre nos da entonces una fórmula explícita para calcular estos exponentes (y, por tanto, toda la descomposición). Concretamente, afirma que

${\displaystyle s_{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }$,

donde los corchetes representan la función piso.

Nótese que, para cualquier número real x, y cualquier entero n, se tiene que:

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor }{n}}\right\rfloor }$

que permite calcular más sencillamente los términos s_p(n!).^{[cita requerida]}

Para n=6, se tiene que ${\displaystyle 6!=720=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}}$. Los exponentes, que sabemos que valen ${\displaystyle s_{2}(6!)=4,s_{3}(6!)=2,s_{5}(6!)=1}$, se pueden calcular también con la fórmula de Legendre:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{2}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{2^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor =3+1=4,\\[3pt]s_{3}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{3^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{3}}\right\rfloor =2,\\[3pt]s_{5}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{5}}\right\rfloor =1.\end{aligned}}}$

Como, por definición, ${\displaystyle n!}$ es el producto de los enteros entre ${\displaystyle 1}$ y ${\displaystyle n}$, obtenemos por lo menos un factor ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle n!}$ por cada múltiplo de ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$. Como cada múltiplo de ${\displaystyle p}$ dista del siguiente una distancia ${\displaystyle p}$, en la lista anterior tenemos ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{p}}\right\rfloor }$ múltiplos de ${\displaystyle p}$. Pero cada múltiplo de ${\displaystyle p^{2}}$ contribuye con dos factores (y no uno) de ${\displaystyle p}$, cada múltiplo de ${\displaystyle p^{3}}$ con tres factores de ${\displaystyle p}$, etcétera. Por el mismo argumento anterior, en ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ hay ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }$ múltiplos de ${\displaystyle p^{i}}$. Así, si sumamos uno por cada múltiplo de ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ (o lo que es lo mismo, el número de múltiplos de ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$), uno más por cada número que sea también múltiplo de ${\displaystyle p^{2}}$ (el número de múltiplos de ${\displaystyle p^{2}}$ en ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$), uno más por cada número que sea también múltiplo de ${\displaystyle p^{3}}$ (el número de múltiplos de ${\displaystyle p^{3}}$ en ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$), etcétera, obtenemos el número de factores ${\displaystyle p}$ que tiene ${\displaystyle n!}$, pero esto es lo que enuncia la fórmula de Legendre. ${\displaystyle \quad \square }$

• Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2018). «Number Theory, 2. Bertrand's postulate». Proofs from THE BOOK (en inglés). Springer. p. 10. ISBN 978-3-662-57264-1. 

• de Polignac's formula en PlanetMath.