Función hermítica

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En análisis matemático, una función hermítica es una función compleja que tiene la propiedad de que su conjugado es igual a la función original con la variable cambiada de signo:

${\displaystyle f(-x)={\overline {f(x)}}}$

para todo ${\displaystyle x}$ en el dominio de ${\displaystyle f}$.

Esta definición se puede extender a funciones de dos o más variables. Por ejemplo, si f es una función de dos variables, es hermítica si

${\displaystyle f(-x_{1},-x_{2})={\overline {f(x_{1},x_{2})}}}$

para todos los pares ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ en el dominio de ${\displaystyle f}$.

De esta definición se deduce inmediatamente que, si ${\displaystyle f}$ es una función hermítica, entonces

• la parte real de ${\displaystyle f}$ es una función par
• la parte imaginaria de ${\displaystyle f}$ es una función impar

Las funciones hermíticas aparecen frecuentemente en matemáticas y procesado de señales. Por ejemplo, las siguientes afirmaciones son importantes cuando se trabaja con la transformada de Fourier:

• La función ${\displaystyle f}$ es hermítica sí y solo si la transformada de Fourier de ${\displaystyle f}$ es hermítica.

Dado que toda función real tiene por transformada de Fourier una función hermítica, podemos expresarlo como:

• Que la función ${\displaystyle f}$ sea real implica que la transformada de Fourier de ${\displaystyle f}$ es hermítica.

• La función ${\displaystyle f}$ es hermítica si la transformada de Fourier de ${\displaystyle f}$ es real (condición necesaria pero no suficiente).

• Función par
• Función impar