Generador de un ideal

Sea ${\displaystyle A}$ un dominio y ${\displaystyle X}$ un subconjunto de ${\displaystyle A}$. Si ${\displaystyle I}$ es el mínimo ideal de ${\displaystyle A}$ tal que ${\displaystyle X\subseteq I}$, se dice que ${\displaystyle X}$ es el generador del ideal ${\displaystyle I}$ o, equivalentemente, que ${\displaystyle I}$ es un ideal de ${\displaystyle A}$ generado por ${\displaystyle X}$.

El ideal de ${\displaystyle A}$ generado por el subconjunto ${\displaystyle X}$ de ${\displaystyle A}$ se denota comúnmente por

${\displaystyle ~(X)}$

Cuando ${\displaystyle X}$ es un conjunto finito, digamos ${\displaystyle X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$, se dice que el ideal ${\displaystyle (X)}$ es finitamente generado y se representa comúnmente por ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$. En particular, si ${\displaystyle ~X=\{x\}}$ (i.e. si ${\displaystyle X}$ contiene un solo elemento), se dice que ${\displaystyle (x)}$ es un ideal principal de ${\displaystyle A}$.

Si A es un dominio tal que todos sus ideales son finitamente generados, entonces A es un anillo noetheriano, y recíprocamente. En particular, un anillo noetheriano cuyos ideales son todos principales se dice dominio de ideales principales (DIP).

Todo subconjunto ${\displaystyle X}$ de un dominio ${\displaystyle A}$ es el generador de algún ideal de ${\displaystyle A}$, pues siempre existe por lo menos un ideal que contiene a ${\displaystyle X}$ (e.g. el propio dominio ${\displaystyle A}$). El ideal de ${\displaystyle A}$ generado por ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle (X)}$, puede obtenerse explícitamente considerando que la intersección de cualquier familia de ideales es un ideal, y que, en particular, es el menor de todos ellos. Así,

(1)${\displaystyle (X)=\bigcap I_{i}}$

donde cada ${\displaystyle I_{i}}$ es un ideal tal que ${\displaystyle X\subseteq I_{i}}$.

Si ${\displaystyle X,Y}$ son subconjuntos de ${\displaystyle A}$ tales que ${\displaystyle X\subseteq Y}$, claramente ${\displaystyle (X)\subseteq (Y)}$

Un hecho que se deduce a partir de la definición de un ideal generado y de la de un ideal cualquiera es que

(2)${\displaystyle (X)=\{a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}|\;a_{i}\in A\ {\mbox{y}}\ x_{i}\in X\;\forall i\in \{1,\dots ,n\}\;n\in \mathbb {N} \}}$,

por lo que todo elemento de un ideal generado es una combinación lineal de los elementos de ${\displaystyle X}$, y se tiene así una forma de poner un ideal generado en términos de sus elementos. La ecuación (1) y la ecuación (2) pueden considerarse como definiciones equivalentes de ideal generado, aunque generalmente se usa (1) y de ahí se deduce fácilmente (2).

• Ideal (teoría de anillos)

• Weisstein, Eric W. «Ideal». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.