Homología de Hochschild

En matemáticas, la homología (y cohomología) de Hochschild es una teoría de homología para álgebras asociativas sobre anillos. Existe también una teoría de la homología de Hochschild sobre ciertos funtores. La cohomología de Hochschild fue introducida por Gerhard Hochschild para álgebras sobre un cuerpo, y generalizada sobre anillos por Cartan y Eilenberg (1956).

Sea k un anillo, A una k-álgebra asociativa, y M un A-bimódulo. El álgebra envolvente de A es el producto tensor A^e=A⊗A^o de A con su álgebra opuesta. Los bimódulos sobre A son esencialmente los módulos sobre el álgebra envolvente de A, así que, en particular, A y M pueden considerarse como A^e-módulos.Cartan y Eilenberg (1956) definieron el grupo de homología y cohomología de Hochschild de A con coeficientes en M en términos del funtor Tor y el funtor Ext como

${\displaystyle HH_{n}(A,M)={\text{Tor}}_{n}^{A^{e}}(A,M)}$

${\displaystyle HH^{n}(A,M)={\text{Ext}}_{A^{e}}^{n}(A,M)}$

Sea k un anillo, A una k-álgebra asociativa que es un k-módulo proyectivo, y M un A-bimódulo. Escribiremos el producto tensor de n copias de A sobre k como A^⊗n . El complejo de cadenas que da lugar a la homología de Hochschild viene dado por

${\displaystyle C_{n}(A,M):=M\otimes A^{\otimes n}}$

con operadores de frontera d_i definidos por

${\displaystyle d_{0}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=ma_{1}\otimes a_{2}\cdots \otimes a_{n}}$

${\displaystyle d_{i}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$

${\displaystyle d_{n}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{n}m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1}}$

Donde a_i está en A para cada 1 ≤ i ≤ n y m ∈ M. Si tomamos

${\displaystyle b=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}d_{i},}$

entonces b ° b = 0, así que (C_n(A,M), b) es un complejo de cadenas llamado complejo de Hochschild, y su homología es la homología de Hochschild de A coeficientes en M.

Las aplicaciones d_i son operadores frontera que hacen a la familia de módulos C_n(A,M) un objeto simplicial en la categoría de k-módulos. Esto es, hay un funtor Δ^o → k-mod, donde Δ es la categoría simplicial y k-mod es la categoría de los k-módulos. Aquí, Δ^o es la categoría opuesta de Δ. Las aplicaciones degeneradas están definidas por s_i(a₀ ⊗ ··· ⊗ a_n) = a₀ ⊗ ··· a_i ⊗ 1 ⊗ a_i+1 ⊗ ··· ⊗ a_n. La homología de Hochschild es la homología de este módulo simplicial.

• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956), Homological algebra, Princeton Mathematical Series 19, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5, MR 0077480 .
• Hochschild, G. (1945), «On the cohomology groups of an associative algebra», Annals of Mathematics. Second Series 46: 58-67, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969145, MR 0011076 .
• Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0
• Richard S. Pierce, Associative Algebras, Graduate Texts in Mathematics (88), Springer, 1982.
• Teimuraz Pirashvili, Hodge decomposition for higher order Hochschild homology