Algunas soluciones de una ecuación diferencial ordinaria de la forma Frobenius, concretamente{\displaystyle 2x^{2}y^{\prime \prime }+3xy^{\prime }-(x^{2}+1)y=0}
En matemáticas, el Método de Frobenius, que debe su nombre a Ferdinand Georg Frobenius, es una forma de hallar una solución expresada como serie infinita para una ecuación diferencialordinaria de segundo orden que tenga la forma:
con
y
en un entorno reducido de un punto singular regular . Podemos dividir por para obtener una ecuación diferencial de la forma
con la cual no es resoluble con el método de serie de potencias regular si o no son analíticas en . El método de Frobenius permite crear una solución en serie de potencias de esa ecuación diferencial, con p(z) y q(z) analíticas en 0 o, siendo analíticas, si sus límites en 0 existen (si son finitos).
Formulación
El método de Frobenius permite hallar una solución en serie de potencias de la forma
Diferenciando:
Sustituyendo
La expresión
Polinomio indicial
(1)
se conoce como el polinomio indicial, un polinomio de grado 2 y donde r se denomina parámetro indicial.[1] La definición general del polinomio indicial es el coeficiente de la menor potencia de z en la serie infinita. En este caso sucede para el coeficiente r-ésimo, pero es posible para exponentes menores tal como r − 2, r − 1 o sino dependientes de la ecuación diferencial dada. Es un detalle importante para tener en cuenta. En el proceso de sincronizar todas las series de la ecuación diferencial para que empiecen con el mismo valor del índice (el cual en la expresión anterior es k = 1), que puede resultar en expresiones complicadas. Sin embargo, hallando las raíces del polinimio indicial se pone atención en el coeficiente de la menor potencia de z.
Usando esto, la expresión general del coeficiente de zk + r es
,
Estos coeficientes deben ser cero, ya que deberían ser soluciones de la ecuación diferencial, así
La solución en series con Ak de arriba,
satisface
Si elegimos una de las raíces del polinomio indicial con r en Ur(z), obtenemos una solución para la ecuación diferencial. Si la diferencia entre las raíces no es entera, se tiene otra solución linealmente independiente con la otra raíz..
Ejemplo
Para resolver
Se divide por z2 para obtener
la cual tiene el requisito de singularidad en z = 0.
La solución en series:
Sustituyendo:
De (r − 1)2 = 0 se obtiene que 1 es raíz doble. Usando esta raíz, los coeficientes se hacen zk + r − 2 para ser cero (para que sea solución), de lo que resulta:
El ejemplo anterior tiene una raíz repetida en el polinomio indicial, la cual nos permite encontrar una de las soluciones de la ecuación diferencial. En general, del método de Frobenius se pueden obtener dos soluciones independientes que surgen a partir de las raíces de la ecuación indicial si son únicas.
Si las raíces son repetidas o su diferencia es un número entero, la segunda solución pueden encontrarse con la ecuación:[2]
Donde es la primera solución (basada en la raíz más grande en el caso de raíces distintas, que difieren de un entero), es la raíz más pequeña, y la constante y los coeficientes se tienen que determinar.
En el caso particular donde las raíces son coincidentes (doble) la constante es .
Véase también
Punto singular regular
Ecuación diferencial compleja
Serie de Laurent
Referencias
↑Steiner, Erich (2005). «13.3». Matemáticas para las ciencias aplicadas. Reverté. p. 328. ISBN 8429151591.
Aranda Iriarte, José Ignacio (2008). «3.3». Apuntes de ecuaciones diferenciales I. Universidad Complutense de Madrid. pp. 62-65. Archivado desde el original el 15 de febrero de 2017. Consultado el 6 de mayo de 2016.
Arfken, G.B. (2013). Mathematical Methods for Physicists(en inglés). Elsevier Science. pp. 454-463. ISBN 9781483277820. «"Series Solutions--Frobenius' Method." §8.5».
Frobenius, G. (1873). «Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen.». Journal für die reine und angewandte Mathematik(en alemán)76: 214-235.
Ince, E. L. Ch. 5 in Ordinary Differential Equations. New York: Dover, 1956.