Número metálico

En matemáticas los números metálicos son un conjunto de números que reciben nombres especiales relacionados con diferentes metales. Se obtienen a partir de la ecuación de segundo grado:^[1]​

(1)${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$

donde n es un número natural.

Los números metálicos más conocidos son el número de oro (${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$), el número de plata (${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$) y el número de bronce (${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$) que verifican la siguiente fracción continua:^[1]​

(2)${\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}$

con n igual a 1, 2 y 3 respectivamente.

Tabla 1

Valor de los números metálicos^[2]​

Nombre	n	Valor aproximado	Valor exacto
Oro	1	1,618033989...	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
Plata	2	2,414213562...	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$
Bronce	3	3,302775638...	${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$
Cobre	4	4,236067978...	${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$
Níquel	5	5,192582404...	${\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}}$

Los más conocidos, se han utilizado desde los albores de la aritmética; los más populares, por ejemplo el número áureo, han sido estudiados de manera exhaustiva. Corresponde el mérito de la sistematización, estudio y divulgación de estos números a la matemática argentina Vera de Spinadel (1929-2017).

Los números metálicos pueden ser generados por tres diferentes métodos:

La solución general de la ecuación de segundo grado se expresa por:

${\displaystyle x={\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$

que para el rango inferior de n proporciona los valores que se muestran en la Tabla 1.

La ecuación general puede ser reordenada en la forma:

${\displaystyle x=n+{\frac {1}{x}}}$

Sustituyendo la expresión de la variable en el denominador:

${\displaystyle x=n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{x}}}}}$

operación que puede continuarse hasta el infinito, resultando la expresión general de la fracción continua.

Se denomina sucesión de Fibonacci secundaria a la serie infinita construida según el siguiente criterio:

${\displaystyle G(n+2)=G(n+1)+G(n)}$

El límite en el infinito de la razón entre dos términos consecutivos:

${\displaystyle {\frac {G(n)}{G(n-1)}}}$

es, precisamente, el número áureo.

Generalizando el anterior resultado se ha denominado "sucesión de Fibonacci secundaria generalizada" a la formada según la recurrencia:

${\displaystyle G(n+2)=nG(n+1)+G(n)}$

cuyos límites entre dos términos consecutivos tienden a los correspondientes "números metálicos" con idéntico valor de n.

• Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea: el lenguaje matemático de la belleza y el arte. RBA Coleccionables. ISBN 978-84-473-6623-1. OCLC 804768186. 

• La familia de números metálicos (Vera W. de Spinadel) (pdf)