Número perfecto múltiple
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En matemáticas, un número perfecto múltiple (también llamado número multiperfecto o número pluscuamperfecto) es una generalización del número perfecto.
Para un número natural k dado, un número n se llama k-perfecto (o k veces-perfecto) si y solo si la suma de todos los divisores positivos de n (la función divisor, σ(n)) es igual a kn; un número es por lo tanto perfecto si y solo si es 2-perfecto. Un número que es k-perfecto para un cierto k se llama número perfecto múltiple. A partir de 2014, se conocen números k perfectos para cada valor de k hasta 11.[1]
Se desconoce si hay números perfectos múltiples impares que no sean 1. Los primeros números perfectos múltiples son:
- 1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240, ... (sucesión A007691 en OEIS).
Ejemplo
La suma de los divisores de 120 es
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360
que es 3 × 120. Por lo tanto, 120 es un número perfecto de 3.
Los números k perfectos más pequeños conocidos
La siguiente tabla ofrece una descripción general de los números k perfectos más pequeños conocidos para k ≤ 11 (sucesión A007539 en OEIS):
k | Número k-perfecto más pequeño conocido | Factores | Encontrado por |
---|---|---|---|
1 | 1 | en la antigüedad | |
2 | 6 | 2 × 3 | en la antigüedad |
3 | 120 | 23 × 3 × 5 | en la antigüedad |
4 | 30240 | 25 × 33 × 5 × 7 | René Descartes, hacia 1638 |
5 | 14182439040 | 27 × 34 × 5 × 7 × 112 × 17 × 19 | René Descartes, hacia 1638 |
6 | 154345556085770649600 (21 dígitos) | 215 × 35 × 52 × 72 × 11 × 13 × 17 × 19 × 31 × 43 × 257 | Robert Daniel Carmichael, 1907 |
7 | 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 (57 dígitos) | 232 × 311 × 54 × 75 × 112 × 132 × 17 × 193 × 23 × 31 × 37 × 43 × 61 × 71 × 73 × 89 × 181 × 2141 × 599479 | TE Mason, 1911 |
8 | 826809968707776137289924...057256213348352000000000 (133 dígitos) | 262 × 315 × 59 × 77 × 113 × 133 × 172 × 19 × 23 × 29 × ... × 487 × 5212 × 601 × 1201 × 1279 × 2557 × 3169 × 5113 × 92737 × 649657 (38 factores primos distintos) | Stephen F. Gretton, 1990[1] |
9 | 561308081837371589999987...415685343739904000000000 (287 dígitos) | 2104 × 343 × 59 × 712 × 116 × 134 × 17 × 194 × 232 × 29 × ... × 17351 × 29191 × 30941 × 45319 × 106681 × 110563 × 122921 × 152041 × 570461 × 16148168401 (66 factores primos distintos) | Fred Helenius, 1995[1] |
10 | 448565429898310924320164...000000000000000000000000 (639 dígitos) | 2175 × 369 × 529 × 718 × 1119 × 138 × 179 × 197 × 239 × 293 × ... × 583367 × 1609669 × 3500201 × 119782433 × 212601841 × 2664097031 × 2931542417 × 43872038849 × 374857981681 × 4534166740403 (115 factores primos distintos) | George Woltman, 2013[1] |
11 | 251850413483992918774837...000000000000000000000000 (1907 dígitos) | 2468 × 3140 × 566 × 749 × 1140 × 1331 × 1711 × 1912 × 239 × 297 × ... × 25922273669242462300441182317 × 15428152323948966909689390436420781 × 420391294797275951862132367930818883361 × 23735410086474640244277823338130677687887 × 628683935022908831926019116410056880219316806841500141982334538232031397827230330241 (246 factores primos distintos) | George Woltman, 2001[1] |
Propiedades
Se puede probar que:
- Para un número primo p dado, si n es p-perfecto y p no divide a n, entonces pn es (p+1)-perfecto. Esto implica que un entero n es un número 3 perfecto divisible por 2, pero no por 4, si y solo si n/2 es un número perfecto impar, de los cuales no se conoce ninguno.
- Si 3n es 4k-perfecto y 3 no divide a n, entonces n es 3k-perfecto.
Números perfectos múltiples impares
Se desconoce si existen números perfectos múltiples impares distintos de 1. Sin embargo, si existiese un número n k-perfecto impar para k > 2, entonces debe cumplir las siguientes condiciones:[2]
- El factor primo más grande es ≥ 100129
- El segundo factor primo más grande es ≥ 1009
- El tercer factor primo más grande es ≥ 101
Límites
En notación o-minúscula, el número de números perfectos múltiples menores que x es para todo ε > 0.[2]
El número de números k perfectos n para n ≤ x es menor que , donde c y c' son constantes independientes de k.[2]
Bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann, la siguiente desigualdad es cierta para todos los números k perfectos n, cuando k > 3.
cuando es la constante gamma de Euler. Esto se puede probar usando la función divisor.
El número de divisores τ(n) de un k-número perfecto n satisface la desigualdad:[3]
- .
El número de factores primos distintos ω(n) de n satisface que:[4]
Si los distintos factores primos de n son , entonces:[4]
Valores específicos de k
Números perfectos
Un número n con σ(n)= 2n es perfecto.
Números triperfectos
Un número n con σ(n)= 3n es triperfecto. Solo hay seis números triperfectos conocidos y se cree que estos comprenden todos esos números:
120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 (sucesión A005820 en OEIS)
Si existe un número perfecto impar m (un famoso problema abierto) entonces 2m sería 3 perfecto, ya que σ(2m)= σ(2)*σ(m)= 3*2m. Un número triperfecto impar debe ser un número cuadrado superior a 1070 y tener al menos 12 factores primos distintos, el mayor superior a 105.[5]
Variaciones
Números perfectos múltiples unitarios
Se puede hacer una extensión similar para los números perfectos unitarios. Un entero positivo n se denomina número perfecto k múltiple unitario si σ*(n)=kn donde σ*(n) es la suma de sus divisores unitarios (un divisor d de un número n es un divisor unitario si d y n/d no comparten factores comunes).
Un número perfecto múltiple unitario es simplemente un número perfecto k múltiple unitario para algún entero positivo k. De manera equivalente, los números perfectos múltiples unitarios son aquellos n para los cuales n divide a σ*(n). Un número perfecto 2 múltiple unitario se llama naturalmente número perfecto unitario. En el caso k > 2, no se conoce hasta ahora ningún ejemplo de un número perfecto k múltiple unitario. Se sabe que si tal número existe, debe ser par y mayor que 10102 y debe tener más de cuarenta y cuatro factores primos impares. Este problema es probablemente muy difícil de resolver. El concepto de divisor unitario se debió originalmente a R. Vaidyanathaswamy (1931), quien llamó a dicho divisor factor de bloque. La terminología actual se debe a E. Cohen (1960).
Los primeros números perfectos múltiples unitarios son:
- 1, 6, 60, 90, 87360 (sucesión A327158 en OEIS)
Números perfectos múltiples biunitarios
Un entero positivo n se denomina número perfecto k múltiple biunitario si σ**(n)= kn donde σ**(n) es la suma de sus divisores unitarios. Este concepto se debe a Peter Hagis (1987). Un número perfecto múltiple biunitario es simplemente un número perfecto k múltiple biunitario para algún entero positivo k. De manera equivalente, los números perfectos múltiples biunitarios son aquellos n para los cuales n divide a σ**(n). Un número perfecto 2 múltiple biunitario se llama naturalmente número perfecto biunitario, y un número perfecto 3 múltiple biunitario se llama número triperfecto biunitario.
Un divisor d de un entero positivo n se denomina divisor biunitario de n si el máximo común divisor unitario (mcud) de d y de n/d es igual a 1. Este concepto se debe a D. Surynarayana (1972). La suma de los divisores bi-unitarios (positivos) de n se denota por σ**(n).
Peter Hagis (1987) demostró que no existen números perfectos múltiples biunitarios impares. Haukken y Sitaramaiah (2020) encontraron todos los números triperfectos biunitarios de la forma 2au, donde 1 ≤ a ≤ 6 y u es impar,[6][7][8] y parcialmente el caso donde a= 7.[9][10] Además, demostraron por completo el caso a= 8.[11]
Los primeros números perfectos múltiples biunitarios son:
- 1, 6, 60, 90, 120, 672, 2160, 10080, 22848, 30240 (sucesión A189000 en OEIS)
Referencias
- ↑ a b c d e Flammenkamp, Achim. «The Multiply Perfect Numbers Page». Consultado el 22 de enero de 2014.
- ↑ a b c Sándor, Mitrinović y Crstici, 2006, p. 105
- ↑ Dagal, Keneth Adrian P. (2013). «A Lower Bound for τ(n) for k-Multiperfect Number». arXiv:1309.3527 [math.NT].
- ↑ a b Sándor, Mitrinović y Crstici, 2006, p. 106
- ↑ Sándor, Mitrinović y Crstici, 2006, pp. 108–109
- ↑ Haukkanen y Sitaramaiah, 2020a
- ↑ Haukkanen y Sitaramaiah, 2020b
- ↑ Haukkanen y Sitaramaiah, 2020c
- ↑ Haukkanen y Sitaramaiah, 2020d
- ↑ Haukkanen y Sitaramaiah, 2021a
- ↑ Haukkanen y Sitaramaiah, 2021b
Bibliografía
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- Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020d). «Bi-unitary multiperfect numbers, IV(a)». Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 26 (4): 2-32. doi:10.7546/nntdm.2020.26.4.2-32.
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- Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2021b). «Bi-unitary multiperfect numbers, V». Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 27 (2): 20-40. doi:10.7546/nntdm.2021.27.2.20-40.
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. Véase también
Enlaces externos
- The Multiply Perfect Numbers page
- The Prime Glossary: Multiply perfect numbers
- The Six Triperfect Numbers en YouTube.
Datos: Q1755843