Orden monomial
En Álgebra, un orden monomial u orden admisible es una ordenación del conjunto de monomios de un anillo, que se utiliza para poder establecer un algoritmo de división en polinomios de varias variables.
Definición
Sea un anillo conmutativo y un conjunto de indeterminadas. Sea el conjunto de monomios sobre (como es habitual, denotamos por al monomio , y dado el multiíndice , denotarmos por al monomio ; aquí entenderemos por monomios a productos de indeterminadas, sin coeficientes en el anillo). Se dice que < es un orden monomial si se cumple que:
- < es un orden total en .
- Dados de manera que , entonces se cumle que .
En algunos textos se exige otra condición, la de que < sea un buen orden en . Nosotros denominaremos orden monomial global a todo orden monomial que también es buen orden. Esto se hace así para permitir ciertos tipos de órdenes monomiales sobre anillos locales que resultan ser muy útiles.
Orden monomial global
Un orden monomial < sobre se dice que:
- es artiniano si todo subconjunto no vacío tiene elemento mínimo (es decir, es buen orden);
- es global si toda variable es mayor que la unidad del anillo, es decir, cualquiera que sea el ;
- refina el orden parcial definido por la división si se cumple que si divide a .
El hecho de que un orden monomial sea global es equivalente a que sea artiniano y a que refine el orden parcial definido por la división.
Orden monomial local
Un orden monomial < sobre se dice que es local si la unidad del anillo es mayor que toda variable, es decir, si cualquiera que sea el .
Referencias
- David A. Cox, John B. Little, Don O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms (Springer Verlag, 2ª edición, 1997) ISBN 0-387-9480-2.
- Wolfram Decker, Frank-Olaf Schreyer, Varieties, Gröbner Bases and Algebraic Curves.
Datos: Q934509