Orden monomial

En Álgebra, un orden monomial u orden admisible es una ordenación del conjunto de monomios de un anillo, que se utiliza para poder establecer un algoritmo de división en polinomios de varias variables.

Sea ${\displaystyle R}$ un anillo conmutativo y ${\displaystyle S:=\{x_{1},...,x_{n}\}}$ un conjunto de indeterminadas. Sea ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ el conjunto de monomios sobre ${\displaystyle S}$ (como es habitual, denotamos por ${\displaystyle X}$ al monomio ${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}$, y dado el multiíndice ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},...,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$, denotarmos por ${\displaystyle X^{\alpha }}$ al monomio ${\displaystyle x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot ...\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}}$; aquí entenderemos por monomios a productos de indeterminadas, sin coeficientes en el anillo). Se dice que < es un orden monomial si se cumple que:

• < es un orden total en ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

• Dados ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {N} ^{n}}$ de manera que ${\displaystyle X^{\alpha }<X^{\beta }}$, entonces se cumle que ${\displaystyle X^{\alpha }X^{\gamma }<X^{\beta }X^{\gamma }}$.

En algunos textos se exige otra condición, la de que < sea un buen orden en ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Nosotros denominaremos orden monomial global a todo orden monomial que también es buen orden. Esto se hace así para permitir ciertos tipos de órdenes monomiales sobre anillos locales que resultan ser muy útiles.

Un orden monomial < sobre ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ se dice que:

• es artiniano si todo subconjunto no vacío tiene elemento mínimo (es decir, es buen orden);

• es global si toda variable es mayor que la unidad del anillo, es decir, ${\displaystyle 1<x_{i}}$ cualquiera que sea el ${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$;

• refina el orden parcial definido por la división si se cumple que ${\displaystyle X^{\alpha }<X^{\beta }}$ si ${\displaystyle X^{\alpha }}$ divide a ${\displaystyle X^{\beta }}$.

El hecho de que un orden monomial sea global es equivalente a que sea artiniano y a que refine el orden parcial definido por la división.

Un orden monomial < sobre ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ se dice que es local si la unidad del anillo es mayor que toda variable, es decir, si ${\displaystyle x_{i}<1}$ cualquiera que sea el ${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$.

• David A. Cox, John B. Little, Don O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms (Springer Verlag, 2ª edición, 1997) ISBN 0-387-9480-2.

• Wolfram Decker, Frank-Olaf Schreyer, Varieties, Gröbner Bases and Algebraic Curves.