Principio de los intervalos encajados

En matemática, se denomina familia de intervalos encajonados (o encajados) a una familia ${\displaystyle \{I_{1},I_{2},\dots \}}$ de subconjuntos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tales que:

1. Cada uno de los conjuntos I_k es un intervalo, es decir, un conjunto de la forma ${\displaystyle [a_{k},b_{k}]=\{x\in \mathbb {R} |a_{k}\leq x\leq b_{k}\}}$ (intervalo cerrado), ${\displaystyle (a_{k},b_{k})=\{x\in \mathbb {R} |a_{k}<x<b_{k}\}}$ (intervalo abierto), o semiabierto, en que la desigualdad es estricta solamente en uno de los extremos.
2. Se cumple que ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ,I_{k+1}\subset I_{k}}$, esto es, cada intervalo I_k está contenido en el anterior.
3. Se tiene que, si los extremos de cada intervalo I_k son a_k y b_k, entonces ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }(b_{k}-a_{k})=0}$, esto es, los intervalos se hacen cada vez más pequeños y terminan siendo de longitud menor a cualquier cantidad positiva.^[1]​

La pregunta que surge ante una familia de intervalos encajonados ${\displaystyle \{I_{1},I_{2},\dots \}}$ es saber si existen números reales que pertenezcan a todos los elementos de esta familia, es decir, saber si el conjunto:

${\displaystyle \bigcap _{k\in \mathbb {N} }I_{k}}$

es vacío o no.

Podemos comprobar que en el caso de conjuntos abiertos no hay un resultado general. Por ejemplo, la familia de intervalos ${\displaystyle I_{k}=(0,2^{-k}),k\in \mathbb {N} }$ es una familia de intervalos todos ellos no vacíos pero con intersección vacía, ya que dado un ${\displaystyle \varepsilon >0}$, ninguno de los intervalos I_k con ${\displaystyle k>-\log _{2}(\varepsilon )}$ contendrá a ${\displaystyle \varepsilon }$, y 0 no pertenece a ninguno de los I_k. En cambio, la familia de intervalos encajonados ${\displaystyle I_{k}=(-2^{-k},2^{-k}),k\in \mathbb {N} }$ sí posee intersección no vacía, ya que ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ,0\in I_{k}}$.

En cambio, para las familias de intervalos cerrados encajonados existe un resultado general, conocido como teorema o principio de los intervalos encajados, que estipula lo siguiente:

La prueba de este teorema es una aplicación del teorema de las sucesiones monótonas. Si ${\displaystyle I_{k}=[a_{k},b_{k}]\forall k\in \mathbb {N} }$, tenemos que, al estar cada intervalo contenido en el anterior, se tiene que la sucesión ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ es monótona creciente y acotada superiormente por b₁; asimismo, ${\displaystyle \{b_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ es monótona decreciente y acotada inferiormente por a₁; luego, ambas sucesiones convergen a sendos valores a y b, respectivamente. Luego, por definición de intervalos encajonados, el límite de la sucesión (a_k - b_k) es 0, pero por teoremas de sucesiones este límite es a - b, por lo que concluimos que a = b. Al ser todos los intervalos I_k cerrados, vemos que este número límite pertenece a todos los intervalos de la familia.

Nótese que podemos demostrar que este teorema es lógicamente equivalente al axioma del supremo, es decir, podemos asumir este teorema como axioma y tomarlo como base para demostrar el axioma del supremo como un teorema y, por consiguiente, que el cuerpo de los números reales es un conjunto completo.^[2]​

Este teorema tiene un análogo en los espacios n-dimensionales ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, que señala que cualquier familia de bolas cerradas encajadas ${\displaystyle {\bar {B}}({\vec {x_{0}}},r)=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\|\leq r\}}$ tiene por intersección un único punto.

Para calcular el valor de la raíz cuadrada de 2, por defecto se empieza con 1; luego otro número ${\displaystyle a_{1}}$ > 1, tal que ${\displaystyle a_{1}^{2}<2}$; en seguida un número ${\displaystyle a_{2}>a_{1}}$, con ${\displaystyle a_{2}^{2}<2}$; de nuevo ${\displaystyle a_{3}>a_{2}}$, con ${\displaystyle a_{3}^{2}<2}$.Y así sucesivamente una sucesión creciente pero tal que el cuadrado de ningún término no excede a 2.

De igual modo se construye una sucesión decreciente tal que el cuadrado de ninguno de los término esté por debajo de 2 i. e.${\displaystyle b_{i}^{2}>2}$, siendo ${\displaystyle b_{(i+i)}<b_{i}<2}$.

Después se forma la sucesión de los intervalos cerrados encajados con término general ${\displaystyle [a_{i},b_{i}]}$. El único elemento común a todos lo intervalos cerrados es la raíz cuadrada de 2.^[3]​ Se usa en vez del axioma del supremo en la axiomatización de los reales^[4]​