Radical de Jacobson
En el área de teoría de anillos de matemáticas, el radical de Jacobson[1] de un anillo es el ideal cuyos elementos son aquellos que tienen la propiedad de anular todos los -módulos simples por la derecha. Si se cambia la definición haciendo referencia a los -módulos por la izquierda, el conjunto resultante es el mismo ideal, de modo que la definición es ambidiestra. (el radical de Jacobson) se suele escribir como
En álgebra conmutativa el radical de Jacobson (también denotado como si es un anillo) de un anillo conmutativo con unitario A se define como la intersección de todos los ideales maximales de A. El radical de Jacobson es atribuido al matemático norteamericano Nathan Jacobson (1910-1999).
Propiedad
si y sólo si es un elemento unitario en para cada .
Demostración |
Supómgase que no sea unitario. Entonces pertenece a algún ideal maximal ; pero , luego y por tanto , lo cual es absurdo. Recíprocamente, supóngase que para algún ideal maximal . Entonces y son generados por el ideal unitario , así que tenemos que para algún y algún . Por lo que y, por lo tanto, no es unitario. |
Referencias
- ↑ T.Y. Lam (2012). A First Course in Noncommutative Rings. Springer Science & Business Media. pp. 52 de 397. ISBN 9781468404067. Consultado el 23 de octubre de 2022.
Bibliografía
- M.F. Atiyah & I.G. MacDonald (1969). Introduction to Commutative Algebra. University of Oxford. Addison-Wesley Publishing Company.
Datos: Q1677769