Señal analítica

La señal analítica de Gabor correspondiente a una señal temporal real, es una señal compleja cuyo espectro de frecuencias es nulo para frecuencias negativas, y cuya parte real es igual a la señal original.

La señal analítica ${\displaystyle x_{a}(t)}$ se construye a partir de una señal real.^[1]​

Sea ${\displaystyle x(t)}$ una señal real cuya transformada de Fourier es ${\displaystyle X(\omega )}$. Construyamos ahora la siguiente función:

${\displaystyle X_{a}(\omega )=\left\{{\begin{array}{rl}2X(\omega )&{\textrm {si}}\;\omega >0\\X(\omega )&{\textrm {si}}\;\omega =0\\0&{\textrm {si}}\;\omega <0\end{array}}\right.}$

La señal analítica correspondiente a ${\displaystyle x(t)}$ es la transformada de Fourier inversa de ${\displaystyle X_{a}(\omega )}$:

${\displaystyle x_{a}(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{X_{a}(\omega )\}}$

La señal analítica se puede construir también a partir de la transformada de Hilbert de ${\displaystyle x(t)}$.

Sea ${\displaystyle x_{h}(t)={\mathcal {H}}\{x(t)\}}$ la transformada de Hilbert de ${\displaystyle x(t)}$. Ahora podemos construir la señal analítica de la siguiente manera:

${\displaystyle x_{a}(t)=x(t)+ix_{h}(t)\,\!}$

donde «i» es la unidad imaginaria.

La primera propiedad evidente de la señal analítica ${\displaystyle x_{a}(t)}$ es que su parte real es igual a la señal correspondiente:

${\displaystyle \operatorname {Re} \{x_{a}(t)\}=x(t)}$

La señal analítica de Gabor permite separar una señal temporal en sus componentes de amplitud y fase instantáneas. Es decir, para cada tiempo ${\displaystyle t}$, podremos calcular una función ${\displaystyle A(t)}$ y una función ${\displaystyle \phi (t)}$ tales que

${\displaystyle x(t)=A(t)\cos(\phi (t))}$

Para esto basta calcular

${\displaystyle A(t)={\sqrt {\operatorname {Re} \{x_{a}(t)\}^{2}+\operatorname {Im} \{x_{a}(t)\}^{2}}}}$

y

${\displaystyle \phi (t)=\arg(x_{a}(t))}$

donde arg es el argumento de un número complejo.