Secuencia lineal recurrente
En matemáticas, se denomina secuencia lineal recurrente de orden p a cualquier sucesión con valores en un campo conmutativo K (por ejemplo ℝ o ℂ; solo se considerará el primer caso en este artículo) definidos para todo por una relación de recurrencia lineal de la forma
donde , , ... son p escalares fijos de K (con no nulo).
Tal secuencia está completamente determinada por los datos de sus primeros términos p y por la relación de recurrencia.
Las secuencias recurrentes lineales de orden 1 son las progresiones geométricas.
El estudio de secuencias lineales recurrentes de orden superior se reduce a un problema de álgebra lineal. La expresión del término general de dicha secuencia es posible siempre que se pueda factorizar un polinomio asociado con él, denominado polinomio característico; el polinomio característico asociado con una secuencia que verifica la relación de recurrencia anterior es:
Su grado es, por lo tanto, igual al orden de la relación de recurrencia. En particular, en el caso de secuencias de orden 2, el polinomio es de grado 2, y por lo tanto, puede factorizarse utilizando el cálculo de su discriminante. En consecuencia, el término general de secuencias lineales recurrentes de orden 2 puede expresarse utilizando solo los dos primeros términos, algunos valores constantes, algunas operaciones elementales de aritmética (suma, resta, multiplicación, exponencial) y el seno y coseno (si el cuerpo escalar es el cuerpo real). Una de estas secuencias es la famosa sucesión de Fibonacci, que puede expresarse a partir de potencias que involucran la proporción áurea.
Secuencia lineal recurrente de orden 1
Las secuencias recurrentes lineales de orden 1 son las progresiones geométricas.
Si la relación de recurrencia es , el término general es .
Secuencia lineal recurrente de orden 2
Si a y b son dos escalares fijos de K, con b distinto de cero, la relación de recurrencia es
Los escalares r tales que la secuencia se verifican en (R) son las soluciones de la ecuación cuadrática . El polinomio entonces se llama el polinomio característico de la secuencia. Su discriminante es . Luego se deberán distinguir varios casos, dependiendo del número de raíces del polinomio característico.
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El caso 1 ocurre por ejemplo si y si el discriminante es estrictamente positivo, o si y . Además, si las dos raíces del polinomio son dos complejos conjugados y , entonces el término general de dicha secuencia también se escribe:
- con los parámetros A y B en K ( o , dependiendo de si se está interesado en secuencias reales o complejas) determinado por los dos primeros valores de la secuencia.
El caso 2 ocurre cuando y luego la raíz doble es .
No se pierde nada de la generalidad de la secuencia suponiendo que se define en todos ℕ y no solo en . De hecho, el estudio de una secuencia u que solo se define a partir de se reduce a la de la secuencia v definida en ℕ por .
Identidades notables
Si una secuencia u verifica que
entonces puede extenderse a índices negativos y vincularse a las potencias de la matriz
(invertible dado que b ≠ 0) por:
- .
Esto permite mostrar que para v igual a u o cualquier otra secuencia que satisfaga la misma relación de recurrencia (R) y para todos los enteros i, j, k, l r:[1]
En particular:
Secuencia de orden recurrente p
Subespacio vectorial de dimensión p
Si se denomina la relación de recurrencia:
- Para todo entero n,
y si se denomina al conjunto de secuencias de valores en K que satisfacen , se demuestra que es un subespacio vectorial del espacio de secuencias de valores en K. Esto se debe a la linealidad de la relación de recurrencia.
Además, este subespacio es de dimensión p. De hecho, existe un isomorfismo de espacios vectoriales entre y : para cada secuencia u , se asocia la p-tupla . Entonces es suficiente conocer una familia libre de p secuencias que verifiquen , todo entonces es engendrado por esta familia libre.
Término general
La búsqueda del término general y secuencias específicas se lleva a cabo trabajando en . A cada secuencia se le asocia la secuencia definida por
La relación de recurrencia en induce una relación de recurrencia en
- donde
(A es la matriz compañera del polinomio característico de la secuencia).
El término general de la secuencia U se determina entonces por[2]
El problema parece haber terminado. Pero la verdadera dificultad consiste en calcular ... Se prefiere determinar una base de .
Determinación de una base
El polinomio característico de la matriz A es . No es casualidad que caracterice a las secuencias que se verifican sobre .
Se denota por f a la transformación lineal que, en una secuencia combina la secuencia definida por . La condición "u verifica " se traduce en P(f)(u) = 0. El conjunto es por lo tanto el núcleo de P(f). Si el polinomio P se divide en K (que siempre es cierto si K = ℂ), se escribe donde son las raíces de P; y sus respectivos órdenes de multiplicidad. El núcleo de P(f) es entonces la suma directa de los núcleos de . Por lo tanto, es suficiente encontrar una base de cada uno de estos núcleos para determinar una base de .
Se puede demostrar que cualquier secuencia de términos generales es elemento del núcleo de siempre y cuando el grado de Q sea estrictamente menor que . Esta demostración se realiza por inducción en . Como las secuencias , para j = 0 a , forman una partida libre de elementos,[3] las secuencias , para j de 0 a e i de 1 a k, se forma una familia libre de elementos de (de dimensión p), que por lo tanto es una base de . Los elementos de son, por lo tanto, sumas de secuencias cuyo término general es con un grado de Q estrictamente menor que .
Vuelta a la recurrencia de orden 2
Si el polinomio característico se divide en entonces los polinomios Q son de grado 0 y los elementos de son secuencias cuyo término general es .
Si el polinomio característico se divide en entonces los polinomios Q son de grado 1 y los elementos de son secuencias cuyo término general es .
Referencias
- ↑ Robert C. Johnson (2009). «Fibonacci numbers and matrices». Université de Durham (en inglés). p. 40. Archivado desde el original el 30 de noviembre de 2020. Consultado el 5 de enero de 2020. (A.10).
- ↑ Jean-Marie Monier (2008). Algèbre et géométrie PC-PSI-PT. Dunod. p. 125.
- ↑ En réalité, ce résultat n'est vrai que si , mais le cas d'une racine nulle se traite aisément par décalage d'indice.
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Datos: Q23835453