Superficie reglada

Una superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices. En función de las características y condiciones particulares de estos elementos, recibe diversos nombres.

Superficies regladas son:

• el plano
• las superficies de curvatura simple:
  • superficie cilíndrica
    • superficie cilíndrica de revolución
    • superficie cilíndrica de no revolución
  • superficie cónica
    • superficie cónica de revolución
    • superficie cónica de no revolución
• las superficies alabeadas
  • cilindroide
  • conoide
  • superficie doblemente reglada
    • paraboloide hiperbólico
    • hiperboloide de revolución

Una superficie ${\displaystyle \mathbf {S} }$ es reglada si para cada punto ${\displaystyle \mathbf {p} }$ de la misma, existe una línea recta que contiene a ${\displaystyle \mathbf {p} }$ y contenida en ${\displaystyle \mathbf {S} }$. Una superficie reglada ${\displaystyle \mathbf {S} }$ puede representarse siempre (al menos localmente) por una ecuación paramétrica de la siguiente forma:

${\displaystyle \mathbf {S} (t,u)=\mathbf {p} (t)+u\mathbf {r} (t)}$

donde ${\displaystyle \mathbf {p} (t)}$ es una curva en ${\displaystyle \mathbf {S} }$, y ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ es una curva en la esfera unidad. Así, por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=(\cos(t),\sin(t),0)\\\mathbf {r} &=\left(\cos \left({\frac {t}{2}}\right)\cos(t),\cos \left({\frac {t}{2}}\right)\sin(t),\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\right)\end{aligned}}}$

se obtiene una superficie que contiene la Cinta de Möbius.

Alternativamente, una superficie reglada ${\displaystyle \mathbf {S} }$ puede representarse paramétricamente como:

${\displaystyle \mathbf {S} (t,u)=(1-u)\mathbf {p} (t)+u\mathbf {q} (t)}$

Donde ${\displaystyle \mathbf {p} }$ y ${\displaystyle \mathbf {q} }$ son dos curvas de ${\displaystyle \mathbf {S} }$ que no se intersecan. Por ejemplo, cuando ${\displaystyle \mathbf {p} (t)}$ y ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ se mueven con velocidad constante a lo largo de dos rectas alabeadas, la superficie es un paraboloide hiperbólico, o parte de un hiperboloide de una sola hoja.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\,}$

• Superficie desarrollable