Teorema de Cartan-Kähler

En matemáticas, el teorema de Cartan-Kähler es un resultado importante sobre las condiciones de integrabilidad de los sistemas diferenciales, en el caso de las funciones analíticas, para ideales diferenciales ${\displaystyle I}$. La ecuación fue introducida por primera vez por Élie Cartan y Erich Kähler, razón por la cual lleva su nombre.

No es cierto que el mero hecho de tener ${\displaystyle dI}$ contenida en ${\displaystyle I}$ sea suficiente para la integrabilidad. Hay un problema causado por «soluciones singulares». El teorema calcula ciertas constantes que deben satisfacer una desigualdad para que haya una solución.

Dejemos que ${\displaystyle (M,I)}$ sea un verdadero EDS analítico. Supongamos que ${\displaystyle P\subseteq M}$ está conectado,${\displaystyle k}$-dimensional, analítico real y múltiple integral regular de ${\displaystyle I}$ con ${\displaystyle r(P)\geq 0}$ (es decir, los espacios tangentes ${\displaystyle T_{p}P}$ son "extensibles" a elementos integrales de dimensiones superiores).

Además, supongamos que existe un submúltiple analítico real ${\displaystyle R\subseteq M}$ de codimensión ${\displaystyle r(P)}$ que contiene ${\displaystyle P}$ y que ${\displaystyle T_{p}R\cap H(T_{p}P)}$ tiene dimensión ${\displaystyle k+1}$ para todas las ${\displaystyle p\in P}$.

Entonces existe un (localmente) único, conectado, ${\displaystyle (k+1)}$-dimensional integral múltiple analítica real y dimensional ${\displaystyle X\subseteq M}$ de ${\displaystyle I}$ que satisface ${\displaystyle P\subseteq X\subseteq R}$.

El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya se utiliza en la prueba, por lo que es necesaria la analítica.

• Jean Dieudonné, Eléments d'analyse, vol. 4, (1977) Chapt. XVIII.13
• R. Bryant, S. S. Chern, R. Gardner, H. Goldschmidt, P. Griffiths, Exterior Differential Systems, Springer Verlag, New York, 1991.

• Alekseevskii, D.V. (2001), «Teorema de Cartan-Kähler», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• R. Bryant, "Nine Lectures on Exterior Differential Systems", 1999
• E. Cartan, "On the integration of systems of total differential equations," transl. by D. H. Delphenich
• E. Kähler, "Introduction to the theory of systems of differential equations," transl. by D. H. Delphenich