Teorema de Stolz-Cesàro

En matemáticas, el teorema de Stolz-Cesàro es un criterio para probar la convergencia de una sucesión. Su aplicación permite la resolución de algunos tipos de indeterminaciones. Este teorema puede ser visto en cierta forma como una generalización del promedio de Cesàro. Recibe su nombre por los matemáticos Otto Stolz y Ernesto Cesàro.

Sean ${\displaystyle \{a_{n}\}\ }$ y ${\displaystyle \{b_{n}\}\ }$ dos sucesiones tales que:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$, ${\displaystyle \{b_{n}\}\ }$ es monótona decreciente y ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0}$

o bien

• ${\displaystyle \{b_{n}\}\ }$ es monótona creciente y divergente a ${\displaystyle +\infty \ }$.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lambda ,~\lambda \in \mathbb {R} }$

Entonces, el límite:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lambda }$

Es utilizado frecuentemente para resolver indeterminaciones del tipo ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$.Otra forma de enunciación es la siguiente:

Sean ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ y ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ dos sucesiones de números reales. Asumiendo que ${\displaystyle (b_{n})}$ sea positiva, estrictamente creciente y no acotada y que exista el siguiente límite:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.}$

Entonces podemos asegurar que el límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

existe y es igual a ${\displaystyle l}$ siempre y cuando el denominador sea distinto de cero.

Sean ${\displaystyle \{a_{n}\}\ }$ y ${\displaystyle \{b_{n}\}\ }$ dos sucesiones tales que,

• ${\displaystyle a_{n}>0,\forall n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle b_{n}\ }$ es monótona creciente y divergente ${\displaystyle (b_{n}>0,\forall n)}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}=\lambda ,\lambda \in \mathbb {R} }$

Entonces,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n}}]{a_{n}}}=\lambda }$

La forma general del teorema de Stolz–Cesàro es la siguiente:^[1]​ Si ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ y ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ son dos sucesiones tales que ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ es monótona y no acotada, entonces:

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.}$

El criterio de Stolz del cociente permite demostrar la convergencia a ${\displaystyle 1/3}$ de la sucesión dada por^[2]​

${\displaystyle x_{n}={\frac {1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}}{n^{3}}}}$

Para ello, se considera la sucesión del numerador, ${\displaystyle a_{n}=1^{2}+2^{2}+\cdots n^{2}}$, y la del denominador, ${\displaystyle b_{n}=n^{3}}$ (es monótona creciente y divergente a ${\displaystyle +\infty }$). Por aplicación del criterio,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}={\frac {1}{3}}}$

Por el criterio de la raíz, se tiene el siguiente límite:^[3]​

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n^{2}+1}}=1}$

Para demostrarlo, es suficiente considerar que la sucesión ${\displaystyle a_{n}=n^{2}+1}$ y tener en cuenta que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}=1}$

• Prueba del teorema de Stolz–Cesàro