Descartesen folioa

Descartes-en folioa Descartes-ek 1638an proposatutako kurba aljebraiko bat da, ekuazio inplizituarekin:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0}$

Era berean, esplizituki deskribatu daiteke koordenatu polarretan:

${\displaystyle r(\theta )={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}}$

Desberdintze inplizituko metodoa erabiliz, aurreko ekuazioa y'-rako ebatz daiteke:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {ay-x^{2}}{y^{2}-ax}}}$

Lerro baten ekuazioaren puntu-malda forma erabiliz, kurbaren ukitzailerako ekuazio bat aurki daiteke:${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {ay_{1}-x_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-ax_{1}}}(x-x_{1})}$

Descartesen folioaren lerro tangentea horizontala da ${\displaystyle ay-x^{2}=0}$ denean. Beraz, lerro ukitzailea horizontala da kasu hauetan:

${\displaystyle x^{6}=2a^{3}x^{3}}$

Descartesen folioaren lerro ukitzailea bertikala da ${\displaystyle y^{2}-ax=0}$ denean. Beraz, linea tangentea bertikala da kasu hauetan:

${\displaystyle y^{6}=2a^{3}y^{3}}$

Kurbaren simetriaren propietate bati esker azal daiteke hori. Grafikoari begira, ikus daiteke kurbak bi ukitzaile horizontal eta bi ukitzaile bertikal dituela. Hala, bada, Descartes-en folioaren kurba simetrikoa da ${\displaystyle y=x}$-rekiko; beraz, tangente horizontal batek ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$-ren koordinatua badu, dagokion tangente bertikala dago, ${\displaystyle (y_{1},x_{1})}$.

Kurbak asintota bat du:

${\displaystyle x+y+a=0}$

Asintotak -1eko gradientea du, eta koordenatu-ardatzak ebakitzen ditu y puntuetan.${\displaystyle (0,-a)}$ eta ${\displaystyle (-a,0)}$.

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$ funtzioaren ${\displaystyle y}$ ebazten bada, ekuazio hau lortzen da grafikoaren zati baterako, ${\displaystyle x<=0}$ eta ${\displaystyle a{\sqrt[{3}]{4}}<=x}$ (${\displaystyle a>0}$ dela suposatuz)

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}x^{6}-a^{3}x^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{2}}x^{3}-{\sqrt {{\frac {1}{4}}x^{6}-a^{3}x^{3}}}}}}$

eta beste atalerako, forma trigonometrikoko hiru ekuazio, horietako bik folioaren begizta marrazten dute.

• Datuak: Q837771
• Multimedia: Folium of Descartes / Q837771