Stolz-Cesàroren teorema

Matematikan, Stolz-Cesàroren teorema segida baten konbergentzia frogatzeko irizpide bat da. Hori aplikatuz gero, indeterminazio mota batzuk ebatzi ahal izango dira. Otto Stolz eta Ernesto Cesàro matematikariengatik da izena.

Izan {${\displaystyle a_{n}}$} eta {${\displaystyle b_{n}}$} bi segida, non hurrengo bi baldintzetako bat betetzen den:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$, eta {${\displaystyle b_{n}}$} beherakorra eta ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0}$
• {${\displaystyle b_{n}}$} gorakorra eta ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=+\infty }$

Orduan, existitzen bada ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=L\in \mathbb {R} }$,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=L}$

Sarritan erabiltzen da ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$ motako indeterminazioak ebazteko.

Izan {${\displaystyle a_{n}}$} eta {${\displaystyle b_{n}}$} bi segida, non

• ${\displaystyle a_{n}>0,\forall n\in \mathbb {N} }$

• ${\displaystyle b_{n}}$ gorakorra eta dibergentea den (${\displaystyle b_{n}>0,\forall n}$)

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}=L\in \mathbb {R} }$

Orduan, ${\displaystyle \displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n}}]{a_{n}}}=L}$

Stolz-Cesàroren teoremaren forma orokorra honako hau da: ^[1] ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ eta ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ bi segida badira non ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ monotonoa eta ez-bornatua bada, orduan:

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.}$

• Datuak: Q1052752