| Tähän artikkeliin tai sen osaan on merkitty lähteitä, mutta niihin ei viitata. Älä poista mallinetta ennen kuin viitteet on lisätty. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia viitteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa. |
Dirichlet'n konvoluutio eli Dirichlet'n tulo on lukuteoreettisille funktioille määritelty matemaattinen operaatio. Operaatio muistuttaa lukujen kertolaskua, mutta lukujen sijaan operoidaan funktioilla. Laskemalla kahden lukuteoreettisen funktion konvoluutio saadaan tulokseksi kolmas lukuteoreettinen funktio. Dirichlet'n konvoluutio on siis samantyyppinen operaatio kuin muutkin konvoluutiot.
Matemaattinen määritelmä
Olkoon
ja
kaksi lukuteoreettista funktiota, jotka on siis määritelty vain positiivisille kokonaisluvuille. Olkoon
mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Dirichlet'n konvoluutio
määritellään seuraavasti:
![{\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d|n,d>0}{f(d)g(n/d)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda02464ed9857bcaa16ac3f7ae371255dfcf1c7)
Tässä
merkitsee, että
on jaollinen
:llä. Dirichlet'n konvoluutiossa siis lasketaan yhteen kaikki sellaiset termit, joissa kerrotaan keskenään
ja
sellaisilla arvoilla, joiden tulo on
.
Ominaisuuksia
Dirichlet'n konvoluutiolla on seuraavat ominaisuudet:
- assosiatiivisuus:
![{\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54fdd4fd6c91968bea0fe90b1fa13e305e1b372c)
- kommutatiivisuus:
![{\displaystyle f*g=g*f\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab951eb4ba7b6eb4038db367b027d6c26f7aa107)
- distributiivisuus:
![{\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8efce4fb1158a50eee4560e4ba7b2ef813f7058)
- lukuteoreettisella funktiolla
on käänteisalkio
Dirichlet'n konvoluution suhteen silloin ja vain silloin, kun
.
Esimerkkejä
- Esimerkki 1. Määritellään lukuteoreettinen funktio
seuraavasti:
![{\displaystyle E_{0}(n)=\left\{{\begin{matrix}1,&kun&n=1,\\0,&kun&n>1.\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fdf5a6e765ec1d20d2cb75c2a8e2a7d925f4ce0)
- Nyt funktion
ja minkä tahansa lukuteoreettisen funktion
konvoluutioksi saadaan funktio ![{\displaystyle f:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406ecde4ed35a87950f52ef3cbfe861b41320d42)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(E_{0}*f)(n)&=\sum _{d|n,d>0}{E_{0}(d)f(n/d)}\,\\&=E_{0}(1)f(n)+\sum _{d|n,d>1}{E_{0}(d)f(n/d)}\,\\&=1\cdot f(n)+\sum _{d|n,d>1}{0\cdot f(n/d)}\,\\&=f(n)+0=f(n).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77fd65cc4a3fa8987aac7a07f8e929d2ca8b6793)
- Esimerkki 2. Määritellään lukuteoreettiset funktiot
ja
seuraavasti:
![{\displaystyle f(n)=n\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a3fca6cfef8a15844b1e4629b58e18769f31056)
![{\displaystyle g(n)=n^{2}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac11c14e4b5f67bc679d9276b3534ffffa60fff)
- Lasketaan näiden konvoluution arvo, kun
: ![{\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(10)&=\sum _{d|10,d>0}{f(d)g(10/d)}\,\\&=f(1)\cdot g(10)+f(2)\cdot g(5)+f(5)\cdot g(2)+f(10)\cdot g(1)\\&=1\cdot 10^{2}+2\cdot 5^{2}+5\cdot 2^{2}+10\cdot 1^{2}\\&=100+50+20+10=180.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6951bba262c67a4fb8323bf066ce4bfd5cf580)
- Konvoluution arvo voidaan laskea myös toisella tavalla:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(10)&=\sum _{d|10,d>0}{f(d)g(10/d)}\,\\&=\sum _{d|10,d>0}{d\cdot ({\frac {10}{d}})^{2}}\,=\sum _{d|10,d>0}{\frac {100}{d}}\,\\&={\frac {100}{1}}+{\frac {100}{2}}+{\frac {100}{5}}+{\frac {100}{10}}\\&=100+50+20+10=180.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6202b089678b8a6d1971f00a3b0cb550a96dc570)
Lähteet
- Matti Jutila & Iiro Honkala: Lukuteoria Syksy 2007. Turun yliopisto. Viitattu 18. syyskuuta 2007. [vanhentunut linkki]