Erdősin–Straussin konjektuuri

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Erdősin–Straussin konjektuuri on Paul Erdősin ja E. G. Straussin esittämä egyptiläisiin murto­lukuihin liittyvä väittämä, jonka mukaan Diofantoksen yhtälöllä

${\displaystyle {4 \over n}={1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}}$

on olemassa positiivisista kokonaisluvuista a, b ja c muodostuva kokonaislukuratkaisu kaikilla kokonaisluvuilla ${\displaystyle n\geq 2}$. Väittämän on osoitettu (A. Swett) pitävän paikkansa kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla ${\displaystyle n\leq 10^{14}}$.

Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että yllä olevassa esityksessä ${\displaystyle a\leq b\leq c}$.

Helposti todetaan, että kaikilla parillisilla luvun ${\displaystyle n}$ arvoilla

${\displaystyle {4 \over n}={1 \over {n/2}}+{1 \over n}+{1 \over n}}$.

Yleisemmin, jos alkuluvulla ${\displaystyle p}$ on esitys

${\displaystyle {4 \over p}={1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}}$,

niin kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla ${\displaystyle m}$ on

${\displaystyle {4 \over mp}={1 \over ma}+{1 \over mb}+{1 \over mc}}$.

Mahdollisen pienimmän vastaesimerkin etsinnässä voidaan siis keskittyä tarkastelemaan luvun ${\displaystyle n}$ alkulukuarvoja.

Jos ${\displaystyle n\equiv 2}$ (mod ${\displaystyle 3}$), voidaan käyttää esitystä

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{(n-2)/3+1}}+{\frac {1}{n((n-2)/3+1)}}.}$

Jos ${\displaystyle n\equiv 3}$ (mod ${\displaystyle 4}$), on

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+1)/4}}+{\frac {1}{(n^{2}+n+4)/4}}+{\frac {1}{n(n+1)(n^{2}+n+4)/16}}.}$

Jos ${\displaystyle n\equiv 5}$ (mod ${\displaystyle 8}$), käytettävissä on esitys

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+3)/4}}+{\frac {1}{n(n+3)/8}}+{\frac {1}{n(n+3)/4}}.}$

Jos ${\displaystyle n\equiv 5}$ (mod ${\displaystyle 12}$), käytettävissä on esitys

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+3)/4}}+{\frac {1}{n(n+7)/12}}+{\frac {1}{n(n+3)(n+7)/48}}.}$