Geometrisen keskiarvon lause

Geometrisen keskiarvon lause kuvaa suorakulmaisen kolmion hypotenuusalta piirretyn korkeusjanan ja sen jakamien hypotenuusan osien suhdetta. Lauseen mukaan korkeusjanan pituus on näiden osien pituuksien geometrinen keskiarvo.

Jos h on suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vastaava korkeusjana ja p and q korkeusjanan jakamat hypotenuusan osat niin näiden suhdetta voidaan kuvata lauseella:

${\displaystyle h={\sqrt {pq}}}$

tai vastaavasti:

${\displaystyle h^{2}=pq.}$

Eukleides (n. 360–280 eaa.) käytti jälkimmäistä lausetta (2. kirjan 14. väittämä) annetun suorakulmion kanssa yhtäsuuren neliön piirtämiseen harpin ja viivaimen avulla:
-Ensin suorakulmion DBIE sivua BD jatketaan suorakulmion sivun DE verran(DE=DA).
-Seuraavaksi piirretään puoliympyrä, jonka halkaisija on pidennetty sivu AB.
-Pidennetään janaa DE ympyrän kehälle pisteeseen C.
-DC on halutun neliön sivun pituus.

Lausetta voidaan soveltaa myös käänteisesti: Jos kolmion korkeus­janan jakamien segmenttien tulo on yhtä kuin korkeusjanan neliö, niin kolmio on suorakulmainen.

Teoreema:

Kolmiot ${\displaystyle \triangle ADC}$ ja ${\displaystyle \triangle BDC}$ ovat yhden­muotoisia. Yhdenmukaisuudesta seuraa yhtälö:

${\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}$

Käänteisesti:

Olkoon kolmio ${\displaystyle \triangle ABC}$ jossa ${\displaystyle h^{2}=pq}$ pätee ja todistetaan että C on suorakulma. Koska ${\displaystyle h^{2}=pq}$ niin myös ${\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}}$. Kolmioiden suorat kulmat ovat yhtäsuuret ${\displaystyle \angle ADC=\angle CDB}$ joten kolmioilla${\displaystyle \triangle ADC}$ ja ${\displaystyle \triangle BDC}$ on yksi yhtä suuri kulma ja sen viereiset kulmat ovat keskenään saman suhtaisia, jolloin myös muut kulmat pienemmissä kolmioissa ovat yhtäsuuria. Tästä seuraa että::${\displaystyle \angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)=90^{\circ }}$

Leikataan suorakulmainen kolmio korkeusjanan h kohdalta kahteen yhdenmuotoiseen kolmioon, jotka järjestetään peräkkäin suuremmaksi kolmioksi, jonka sivun pituudet ovat p+h ja q+h. Ensimmäisen kolmioiden väliin jäävä tyhjä tila täyttyy pinta-alaltaan h² kokoisella neliöllä, ja toinen kolmioiden väliin jäävä alue suorakulmiolla pq. Koska molemmat uudelleen järjestetyt kolmiot ovat saman kokoisia, niin myös lisättyjen neliön ja suorakulmion tulee olla keskenään saman kokoisia.

• Eukleides: Elements, book II – prop. 14, book VI – prop. 8, (online copy)

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Geometrisen keskiarvon lause Wikimedia Commonsissa