Gudermannin funktio

Gudermannin funktio eli hyperbolinen amplitudi on erikoisfunktio, joka yhdistää trigonometriset funktiot hyperbolisiin funktioihin ilman kompleksilukujen käyttöä. Gudermannin funktion käänteisfunktio kuvaa leveyspiirin kuvautumista kartan ${\displaystyle y}$-akselille yleisesti käytetyssä Mercatorin karttaprojektiossa. Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon Cristoph Gudermannin (1798–1852) mukaan ^[1].

Gudermannin funktio, ${\displaystyle gd}$, määritellään

${\displaystyle \operatorname {gd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}=2\arctan(e^{x})-{\frac {\pi }{2}}.}$^[2]

Gudermannin funktion käänteisfunktio on vastaavasti

${\displaystyle \operatorname {arcgd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)}$

Gudermannin funktio on pariton, sillä

${\displaystyle \operatorname {gd} (-x)=-\operatorname {gd} (x)\,}$

Sillä on myös kaksi asymptoottia

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\operatorname {gd} (x)={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\operatorname {gd} (x)=-{\frac {\pi }{2}}}$

Yhteys trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä

${\displaystyle \sinh(x)=\tan(\operatorname {gd} (x))\,}$

${\displaystyle \cosh(x)=\sec(\operatorname {gd} (x))\,}$

${\displaystyle \tanh(x)=\sin(\operatorname {gd} (x))\,}$

${\displaystyle \operatorname {sech} (x)=\cos(\operatorname {gd} (x))\,}$

${\displaystyle \operatorname {csch} (x)=\cot(\operatorname {gd} (x))\,}$

${\displaystyle \coth(x)=\csc(\operatorname {gd} (x))\,}$

ja lisäksi

${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)=\tan \left({\frac {\operatorname {gd} (x)}{2}}\right)}$

Eksponenttifunktioon Gudermannin funktiolla on yhteys

${\displaystyle e^{x}={\frac {1+\sin(\operatorname {gd} (x))}{\cos(\operatorname {gd} (x))}}}$

Funktion ja sen käänteisfunktion derivaatat ovat

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {gd} (x)=\operatorname {sech} x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcgd} (x)=\sec x}$

Gudermannin funktio yleistyy suoraan kompleksilukuargumenteille. Puhtaasti imaginääriselle argumentille on voimassa

${\displaystyle \operatorname {gd} (ix)=i\operatorname {arcgd} (x)\,}$

• Gudermannin funktio Mathworldissa (englanniksi)