Hilbertin kuutio

Hilbertin kuutio on topologinen avaruus, joka muodostetaan joukossa ${\displaystyle [0,1]^{\mathbf {N} }}$, topologiana tulotopologia. Sen alkiona ovat siis kuvaukset luonnollisten lukujen joukosta ${\displaystyle \mathbf {N} }$ suljetulle välille [0, 1], jotka voidaan myös samastaa sellaisten lukujonojen kanssa, joiden kaikki luvut ovat suljetulla välillä [0, 1].^[1]

Hilbertin kuutio voidaan käsittää tavallisen kuution ${\displaystyle [0,1]^{3}}$ tai yleisemmän n-ulotteisen kuution ${\displaystyle [0,1]^{n}}$ ääretönulotteiseksi vastineeksi. Sen topologiset ominaisuudet kuitenkin poikkeavat monessa suhteessa tavallisen kuution ominaisuuksista. Monet tärkeät erot johtuvat siitä, että tulotopologian määritelmän mukaan Hilbertin kuution ei-tyhjä osajoukko U on avoin vain, jos sen projektio P_jU käsittää koko välin I = [0, 1] muilla paitsi äärellisellä määrällä indeksejä j. Tästä seuraa esimerkiksi, että joukko ${\displaystyle ]0,1[^{\mathbf {N} }}$ ei ole avoin.^[1]

Hilbertin kuutio on metristyvä.^[2]. Sille voidaan määritellä esimerkiksi seuraavanlainen metriikka:

Valitaan Hilbertin kuutiosta kaksi pistettä ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )}$ ja ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},y_{3},\ldots )}$. Määritellään näiden pisteiden etäisyys lausekkeella

${\displaystyle d(x,y)=\max _{j\in \mathbf {N} }{\frac {x_{j}-y_{j}}{j}}}$

Voidaan osoittaa, että tämän metriikan määräämä topologia on Hilbertin kuution tulotopologia.^[1]

Jokaisen metristyvän avaruuden tavoin Hilbertin kuutiokin on normaali ja samalla Hausdorffin avaruus.^[3] Sillä on numeroituva kanta eli se on N₂-avaruus.^[4].

Tihonovin lauseesta seuraa, että Hilbertin kuutio on myös kompakti.^[5]

Urysonin lemman avulla voidaan todistaa, että jokainen säännöllinen avaruus, jolla on numeroituva kanta, voidaan upottaa Hilbertin kuutioon, toisin sanoen Hilbertin kuutiolla on aliavaruus, joka on homeomorfinen kyseisen avaruuden kanssa. Tästä seuraa myös, että jokainen tällainen avaruus on metristyvä. Toisaalta myös jokainen metristyvä avaruus, jolla on numeroituva kanta, voidaan upottaa Hilbertin kuutioon.^[6]