Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Jatkuvien funktioiden väliarvolause on tärkeä lause analyysissa. Bolzanon lause on sen erikoistapaus.

Lause kuuluu seuraavasti: olkoon ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ jatkuva funktio suljetulta väliltä ${\displaystyle [a,b]}$ reaalilukujen joukolle ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Olkoon ${\displaystyle u}$ reaaliluku, joka toteuttaa ehdon ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$ tai ${\displaystyle f(a)>u>f(b)}$. Tällöin (avoimen) välin ${\displaystyle (a,b)}$ jollekin pisteelle ${\displaystyle c}$ pätee ${\displaystyle f(c)=u}$.^[1]

Jatkuvien funktioiden väliarvolause on intuitiivisesti itsestäänselvyys: jos esimerkiksi f on jatkuva funktio välillä [1, 2] ja sen arvot välin päätepisteissä ovat f(1) = 3 ja f(2) = 5, on f:n arvo 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 välissä. Lauseen idea on yksinkertaisesti se, että jatkuva funktio voidaan piirtää nostamatta kynää paperista: jotta funktio voisi olla jatkuva, sen tulee yhdistää katkeamatta suorat y = 3 ja y = 5, jolloin sen on leikattava ainakin kerran suora y = 4.

Lause esitetään usein myös seuraavasti: jos jatkuvan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä vastaa tapausta u = 0, ja sitä kutsutaan usein Bolzanon lauseeksi. Lause on nimetty matemaatikko Bernard Bolzanon mukaan. Toisaalta Bolzanon lauseella voidaan todistaa jatkuvien funktioiden väliarvolause tutkimalla funktiota ${\displaystyle g(x)=f(x)-u}$, jolloin ${\displaystyle g(a)=f(a)-u<0}$ ja ${\displaystyle g(b)=f(b)-u>0}$. Tällöin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa ${\displaystyle c\in (a,b)}$, jolla ${\displaystyle g(c)=0\iff f(c)-u=0\iff f(c)=u}$.

Todistetaan ensimmäinen tapaus f (a) < u < f (b). Tapauksen f (b) < u < f (a) todistus on samankaltainen tai voidaan palauttaa edelliseen tarkastelemalla funktiota g (x) = -f(x).

Olkoon S niiden välin [a, b] pisteiden joukko, joissa funktion arvo f(x) on pienempi tai yhtä suuri kuin u eli S = {x ${\displaystyle \in }$ [a, b] : f(x) ≤ u}. Tällöin S on epätyhjä (koska a kuuluu siihen, f(a) < u) ja ylhäältä rajoitettu ylärajan ollessa b. Reaalilukujen täydellisyysaksiooman nojalla joukolla S on olemassa supremum eli pienin yläraja c = sup S. Väite: f (c) = u.

Oletetaan ensin, että f(c) > u. Silloin f(c) - u > 0. Koska funktio f on jatkuva eli ${\displaystyle \lim _{x\to \ c}f(x)=f(c)}$, on funktion raja-arvon määritelmän perusteella olemassa δ > 0 siten että | f(x) - f(c) | < f(c) - u aina kun | x - c | < δ. Mutta silloin voidaan ratkaista -( f(c ) - u) < f(x) - f(c) < f(c) - u eli f(x) > f(c) - ( f(c) - u ) = u aina kun | x - c | < δ, siis f (x) > u kaikille x ${\displaystyle \in }$ ( c - δ, c + δ). Siten c - δ on joukon S yläraja, joka on pienempi kuin c, ristiriita (c ei nyt voi olla joukon S pienin yläraja).

Oletetaan seuraavaksi, että f(c) < u. Nyt u - f(c) > 0 ja jatkuvuuden nojalla on olemassa δ > 0 siten, että | f(x) - f(c) | < u - f(c) aina kun | x - c | < δ. Silloin -(u - f(c)) < f(x) - f(c) < u - f(c) eli f(x) < f(c) + (u - f (c)) = u kaikille x ${\displaystyle \in }$ ( c - δ, c + δ). Siten on olemassa x > c, jolle f(x) < u, taas ristiriita c:n määritelmän kanssa (c ei nyt voikaan olla joukon S yläraja).

Koska ei voi olla f(c) < u eikä f(c) > u, tulee olla f(c) = u. □^[2]

Jos funktio ${\displaystyle f}$ on jatkuva pisteessä ${\displaystyle x_{0}}$ ja ${\displaystyle f(x_{0})>0}$, niin on olemassa ${\displaystyle \delta >0}$ siten, että ${\displaystyle f(x)>0}$, kun ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$.

Jos funktio ${\displaystyle f}$ on jatkuva pisteessä ${\displaystyle x_{0}}$ ja ${\displaystyle f(x_{0})<0}$, niin on olemassa ${\displaystyle \delta >0}$ siten, että ${\displaystyle f(x)<0}$, kun ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$.

Todistetaan tapaus ${\displaystyle f(x_{0})>0}$. Tapaus ${\displaystyle f(x_{0})<0}$ todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota ${\displaystyle -f}$.

Koska ${\displaystyle f}$ on jatkuva pisteessä ${\displaystyle x_{0}}$ ja ${\displaystyle f(x_{0})>0}$, niin on olemassa ${\displaystyle \delta >0}$ siten, että

${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<{\frac {f(x_{0})}{2}},}$

kun

${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta .}$

Tällöin

${\displaystyle -{\frac {f(x_{0})}{2}}<f(x)-f(x_{0})<{\frac {f(x_{0})}{2}},}$

joten

${\displaystyle f(x_{0})-{\frac {f(x_{0})}{2}}<f(x),}$

kun

${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta .}$

Täten

${\displaystyle 0<{\frac {f(x_{0})}{2}}<f(x),}$

kun

${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta .\ \square }$

Olkoot ${\displaystyle a<b}$, ${\displaystyle f(a)<0}$ ja ${\displaystyle f(b)>0}$. Tapaus, jossa ${\displaystyle f(a)>0}$ ja ${\displaystyle f(b)<0}$, todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota ${\displaystyle -f}$.

Olkoon joukko ${\displaystyle J=\{x\in [a,b]\mid f(x)<0\}}$. Koska ${\displaystyle a\in J}$, niin ${\displaystyle J\neq \emptyset }$. Koska ${\displaystyle J\neq \emptyset }$ ja ${\displaystyle J}$ on ylhäältä rajoitettu, niin on olemassa ${\displaystyle \sup J}$. Koska ${\displaystyle f}$ on jatkuva välillä ${\displaystyle [a,b]}$ ja ${\displaystyle f(a)<0}$, niin lemman nojalla on olemassa ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ siten, että ${\displaystyle a+\delta _{1}<b}$ ja ${\displaystyle f(x)<0}$, kun ${\displaystyle a\leq x<a+\delta _{1}}$. Koska ${\displaystyle f}$ on jatkuva välillä ${\displaystyle [a,b]}$ ja ${\displaystyle f(b)>0}$, niin lemman nojalla on olemassa ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ siten, että ${\displaystyle a+\delta _{1}<b-\delta _{2}}$ ja ${\displaystyle f(x)>0}$, kun ${\displaystyle b-\delta _{2}<x\leq b}$. Täten ${\displaystyle a<\sup J<b}$. Olkoon ${\displaystyle s=\sup J}$.

Väite: ${\displaystyle f(s)=0}$.

Tehdään vastaoletus: ${\displaystyle f(s)\neq 0}$.

Koska ${\displaystyle f}$ on jatkuva välillä ${\displaystyle [a,b]}$, niin lemman nojalla on olemassa ${\displaystyle \delta >0}$ siten, että ${\displaystyle (s-\delta ,s+\delta )\subset (a,b)}$ ja joko ${\displaystyle f(x)>0}$ tai ${\displaystyle f(x)<0}$, kun ${\displaystyle x\in (s-\delta ,s+\delta )}$.

Jos ${\displaystyle f(x)>0}$, kun ${\displaystyle x\in (s-\delta ,s+d)}$, niin ${\displaystyle s-{\frac {\delta }{2}}\in (a,b)}$ on joukon ${\displaystyle J}$ yläraja. Tällöin ${\displaystyle s}$ ei ole joukon ${\displaystyle J}$ pienin yläraja. Jos ${\displaystyle f(x)<0}$, kun ${\displaystyle x\in (s-\delta ,s+d)}$, niin ${\displaystyle s}$ ei ole joukon ${\displaystyle J}$ yläraja.

Ollaan päädytty ristiriitaan sen kanssa, että ${\displaystyle f(s)\neq 0}$. Täten alkuperäinen väite pätee eli ${\displaystyle f(s)=0}$ pätee.

Siis todistettin, että jos ${\displaystyle f}$ on jatkuva funktio välillä ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle f(a)<0}$ ja ${\displaystyle f(b)>0}$, niin on olemassa ${\displaystyle s\in (a,b)}$ siten, että ${\displaystyle f(s)=0}$. ${\displaystyle \square }$

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

• Intermediate value Theorem – Bolzano Theorem