Ortogonaaliset polynomit

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Ortogonaaliset polynomit ovat ääretön joukko polynomeja ${\displaystyle P_{0}(x),P_{1}(x),P_{2}(x)\ldots ,P_{n}(x),\ldots \,}$, joista ${\displaystyle n}$:s polynomi on aina ${\displaystyle n}$:ttä astetta. Ortogonaalipolynomit ovat nimensä mukaisesti ortogonaalisia, eli kahden polynomin sisätulo

${\displaystyle \langle P_{n},P_{m}\rangle =\int _{a}^{b}P_{n}(x)P_{m}(x)W(x)dx}$

on nolla, aina kun ${\displaystyle n\neq m}$. Tässä esiintyvä funktio ${\displaystyle W(x)}$ on sisätulon painofunktio, joka voi olla myös ykkönen. Tämän ominaisuuden vuoksi tietty ortogonaalipolynomien joukko muodostaa polynomiavaruuden kannan samaan tapaan kuin vaikkapa koordinaatiston kantavektorit muodostavat vektoriavaruuden kannan. Integrointirajojen ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ väliin jäävää aluetta kutsutaan polynomiperheen ortogonaalisuusväliksi. Rajoista jompikumpi tai molemmat voivat olla äärettömiä. Kanta-ominaisuutensa vuoksi ortogonaalipolynomeilla on runsaasti käytännön sovelluksia. Niiden avulla voidaan esimerkiksi kirjoittaa sarjakehitelmiä muille funktioille.

Ortogonaalisia polynomeja esiintyy sellaisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisuna, joka on muotoa

${\displaystyle Q(x)y''+L(x)y'+\lambda y=0\,}$,

kunhan polynomi ${\displaystyle Q(x)}$ on korkeintaan toista astetta ja polynomi ${\displaystyle L(x)}$ lineaarinen. Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan löytää funktio, joka tunnetaan Rodriguesin kaavana. Rodriguesin kaavan yleinen muoto on

${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{W(x)e_{n}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(W(x)[Q(x)]^{n})}$,

missä painofunktio

${\displaystyle W(x)={\frac {e^{\int (L(x)/Q(x))dx}}{Q(x)}}}$

ja ${\displaystyle e_{n}}$ polynomijoukosta riippuva kerroin. Monissa todistuksissa on kätevää käyttää varsinaista generoivaa funktiota. Funktio ${\displaystyle G(x,t)}$ on generoiva funktio, jos polynomijoukolle on voimassa

${\displaystyle G(x,t)=\sum _{n}P_{n}(x)t^{n}\,}$

Tällä voidaan todistaa esimerkiksi rekursiokaavoja.

Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan myös löytää rekursiivinen kaava, jolla pystytään laskemaan joukon seuraava polynomi, kun kaksi edellistä polynomia tunnetaan. Yleinen rekursiokaava on muotoa

${\displaystyle P_{n+1}=(a_{n}x+b_{n})P_{n}-c_{n}P_{n-1}\,}$

Voidaan osoittaa, että jokaisen ortogonaalipolynomin kaikki nollakohdat ovat erisuuria, reaalisia ja että ne kaikki sijaitsevat kyseisen polynomijoukon ortogonaalisuusvälillä. Voidaan myös osoittaa, että jonon ${\displaystyle n}$:nnen polynomin kaikki nollakohdat sijaitsevat ${\displaystyle (n+1)}$:nnen polynomin nollakohtien välissä.

Ortogonaalisia polynomeja syntyy mm. eräiden differentiaaliyhtälöiden ratkaisuna yhtälön sarjaratkaisun katketessa polynomiksi. Tunnettuja ortogonaalipolynomiparvia ovat

• Legendren polynomit
• Laguerren polynomit
• Hermiten polynomit
• Tšebyševin polynomit
• Jacobin polynomit

Auktoriteettitunnisteet Kansainväliset FAST Kansalliset Espanja Ranska BnF data Saksa Israel Yhdysvallat Tšekki Muut IdRef