Stewartin lause

Stewartin lauseessa esiintyvät janat ja pisteet

Geometriassa Stewartin lause kuuluu seuraavasti: Olkoon ABC kolmio jolle AB=c, AC=b ja BC=a. Olkoon lisäksi X piste kolmion sivulla BC jolle BX=x ja XC=y. Jos p on janan AX pituus, on voimassa

a ( p 2 + x y ) = b 2 x + c 2 y {\displaystyle a(p^{2}+xy)=b^{2}x+c^{2}y} .

Stewartin lause voidaan todistaa kosinilauseen avulla: Olkoon α {\displaystyle \alpha } kulma AXB. Soveltamalla kosinilausetta kolmioon AXB saadaan

c 2 = x 2 + p 2 − 2 p x cos ⁡ α {\displaystyle c^{2}=x^{2}+p^{2}-2px\cos \alpha } eli
cos ⁡ α = x 2 + p 2 − c 2 2 p x . {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2px}}.}

Koska cos ⁡ ( 180 ∘ − α ) = − cos ⁡ α {\displaystyle \cos(180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha } , soveltamalla kosinilausetta kolmioon AXC saadaan

cos ⁡ α = b 2 − y 2 − p 2 2 p y {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}-y^{2}-p^{2}}{2py}}} .

Siten

2 p y ( x 2 + p 2 − c 2 ) = 2 p x ( b 2 − y 2 − p 2 ) {\displaystyle 2py(x^{2}+p^{2}-c^{2})=2px(b^{2}-y^{2}-p^{2})}

Jakamalla lauseke puolittain 2p:llä ja järjestelemällä termejä saadaan

x 2 y + x y 2 + p 2 y + p 2 x = b 2 x + c 2 y {\displaystyle x^{2}y+xy^{2}+p^{2}y+p^{2}x=b^{2}x+c^{2}y}

eli

x y ( x + y ) + p 2 ( x + y ) = b 2 x + c 2 y {\displaystyle xy(x+y)+p^{2}(x+y)=b^{2}x+c^{2}y} .

Koska a = x + y {\displaystyle a=x+y} , saadaan

a ( x y + p 2 ) = b 2 x + c 2 y . ◻ {\displaystyle a(xy+p^{2})=b^{2}x+c^{2}y.\quad \Box }

Apolloniuksen lause on Stewartin lauseen erikoistapaus.