Vakiofunktio

Vakiofunktio on matematiikassa sellainen funktio, joka saa kaikilla muuttujan arvoilla aina saman arvon. Tällaisen funktion kuvaaja on vaakasuora eli se muistuttaa siinä mielessä lineaarista funktiota. ^[1] Jos vakiofunktion arvoksi tulee aina c, voidaan kirjoittaa

${\displaystyle f(x)=c\,}$

missä c on reaaliluku.

Vakiofunktiot ovat lineaarisen funktion erikoistapauksia, jossa kulmakerroin a = 0. Funktion lauseke sivenee tällöin

${\displaystyle f(x)=ax+b=0x+b=b}$

Samoin voidaan ajatella potenssifunktion, jonka asteluku on 0, olevan vakiofunktio

${\displaystyle f(x)=ax^{0}=a\cdot 1=a}$

Nollafunktio saa vain arvon 0 ja on siten vakiofunktioiden erikoistapaus.

Trigonometriassa funktio

${\displaystyle f(x)=sin^{2}x+cos^{2}x}$

saa aina arvon 1 ja on siksi vakiofunktio.

Vakiofunktio on määritelty kaikilla luvuilla, joten lähtöjoukoksi voidaan valita kaikki reaaliluvut ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Vakiofunktion ${\displaystyle f}$ kuvaus on surjektio, jos maalijoukkossa on vain luku ${\displaystyle c}$

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \{c\}}$,

mutta kuvaus ei ole koskaan injektio, koska vähintään kaksi lukua (eli tässä tapauksessa kaikki luvut) kuvautuvat samaksi maalijoukon alkioksi ${\displaystyle c}$. Tämän vuoksi vakiofunktio ei ole myöskään bijektio.

Vakiofunktiolla ei ole nollakohtia paitsi nollafunktiolla, jolla nollakohtia on koko reaalilukujoukko.

Jos vakiofunktio f(x) = c on yhdistetyssä funktiossa, on tuloksena vakiofunktio:

${\displaystyle (f\circ g)(x)=c\quad tai\quad (g\circ f)(x)=a\quad a,c\in \mathbb {R} }$

Vakiofunktio on monotoninen funktio. Se voidaan tulkita sekä monotonisesti kasvavaksi- että väheneväksi funktioksi. Se on myös parillinen funktio. Ainoa vakiofunktio, joka on myös pariton funktio, on nollafunktio.

Vakiofunktion derivaatta on ^[1]

${\displaystyle f'(x)=Dc=0}$

on aina nolla eli nollafunktio.

Vakiofunktion integraalifunktio ^[1]

${\displaystyle F(x)=\int c\ dx=cx+C}$

on lineaarinen funktio.

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6. Teoksen verkkoversio (pdf).

• Internetix: Vakiofunktio