Anneau euclidien non commutatif
La notion d'anneau euclidien non commutatif généralise la notion classique d'anneau euclidien au cas non commutatif. Les polynômes tordus (voir infra) en fournissent un exemple. En particulier, l'anneau des opérateurs différentiels à coefficients dans un corps commutatif est un anneau euclidien non commutatif.
Définitions et propriétés
Un anneau sans diviseur de zéro est appelé un anneau euclidien à gauche s'il existe une fonction , appelée fonction euclidienne à gauche[1] ou stathme euclidien à gauche[2] et vérifiant les conditions suivantes :
- (E1) .
- (E2) Pour tous [3].
- (E3) Pour tout et pour tout , il existe tels que
- , ,
- ce qu'on appelle algorithme de la division à gauche.
Ce qui précède est encore valide si l'on change partout gauche par droite, en inter-changeant et dans (E2), et en remplaçant l'algorithme de la division à gauche par l'algorithme de la division à droite:
- , .
Les éléments et de l'algorithme de la division à gauche (resp. à droite) sont appelés un quotient et un reste de la division à droite (resp. à gauche) de par .
Un anneau euclidien est un anneau euclidien à gauche qui est un anneau euclidien à droite.
Si l'on remplace (E2) par la condition plus forte
- (E2') Pour tous et ,
on montre que le reste est unique (de même que le quotient ) et l'anneau euclidien à gauche est donc dit avec reste unique[1].
La propriété suivante est fondamentale: un anneau euclidien à gauche est principal à gauche (la démonstration étant identique à celle faite dans le cas commutatif: voir l'article anneau euclidien).
Exemples
L'anneau des entiers relatifs est un anneau euclidien commutatif avec pour stathme euclidien la fonction définie par si et . Cet anneau euclidien n'est pas avec reste unique.
Soit l'anneau des opérateurs différentiels de la forme
- .
où les sont des fractions rationnelles en à coefficients dans le corps ou . Cet anneau est un anneau euclidien.
Plus généralement, soit un corps, un automorphisme de et une -dérivation, et considérons l'anneau des polynômes tordus d'indéterminée à coefficients dans (voir l'article anneau de Dedekind non commutatif). Cet anneau est euclidien avec reste unique, avec le degré pour stathme euclidien à gauche et à droite[1].
Notes et références
Notes
Références
- N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 4 à 7, Springer, , 432 p. (ISBN 978-3-540-34398-1)
- (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations (2nd ed.), Londres, Academic Press Press, , 595 p. (ISBN 978-0-12-179152-0, BNF 37359190)
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