Circuit RL

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Un circuit RL est un circuit électrique contenant une résistance et une bobine ; il est utilisé dans diverses applications, comme filtre passe-bas ou passe-haut, ou dans les convertisseurs de courant continu. Contenant deux composants, il se décline en deux versions différant dans la disposition des composantes (série ou parallèle).

Circuit série

Le circuit en série est analysé avec la loi des mailles pour donner :

Circuit RL série
U = U R + U L {\displaystyle U=U_{R}+U_{L}}

Régime transitoire

Dans le régime transitoire :

U R = R t I , U L = L d I d t {\displaystyle U_{R}=R_{t}I,\quad U_{L}=L{\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}}

L'équation différentielle qui régit le circuit est alors la suivante :

U = L d I d t + R t I {\displaystyle U=L{\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}+R_{t}I}

Avec :

La solution générale, associée à la condition initiale Ibobine(t = 0) = 0, est :

I b o b i n e = U R t ( 1 − e − t τ ) {\displaystyle I_{\mathrm {bobine} }={U \over R_{t}}(1-\mathrm {e} ^{-{t \over \tau }})}
τ = L R t {\displaystyle \tau ={L \over R_{t}}}

Avec τ la constante de temps du circuit, en s.

C'est la constante de temps τ qui caractérise la « durée » du régime transitoire. Ainsi, le courant permanent est établi à 1 % près au bout d'une durée de 4.6 τ {\displaystyle 4.6\tau } .

Lorsque le courant devient permanent, l'équation se simplifie en U = RI car LdI/dt = 0.

Régime sinusoïdal permanent

Dans une analyse spectrale en régime sinusoïdal permanent, il faut considérer les impédances des composants en fonction de la pulsation :

Z R ( ω ) = R , Z L ( ω ) = j L ω = 2 π j L f {\displaystyle Z_{R}(\omega )=R,\quad Z_{L}(\omega )=jL\omega =2\pi jLf}

où ω est la pulsation en rad.s-1, f est la fréquence en s-1 et j désigne l'unité imaginaire, telle que j2 = -1.

On pose Ue = U la tension entrant dans le quadripôle et Us la tension sortant du quadripôle. On a deux possibilités pour l'expression de Us :

U s = U R = Z R Z R + Z L U e = R R + j L ω U e {\displaystyle U_{s}=U_{R}={Z_{R} \over Z_{R}+Z_{L}}U_{e}={R \over R+jL\omega }U_{e}}
U s = U L = Z L Z R + Z L U e = j L ω R + j L ω U e {\displaystyle U_{s}=U_{L}={Z_{L} \over Z_{R}+Z_{L}}U_{e}={jL\omega \over R+jL\omega }U_{e}}

On note HR(ω) et HL(ω) les fonctions de transfert de chaque cas respectif.

Analyse fréquentielle

H L ( ω ) = V L ( ω ) U e ( ω ) = j L R ω 1 + j L R ω {\displaystyle H_{L}(\omega )={V_{L}(\omega ) \over U_{e}(\omega )}={j{L \over R}\omega \over 1+j{L \over R}\omega }}

La fonction de transfert peut s'écrire H L ( ω ) = G L e j φ L {\displaystyle H_{L}(\omega )=G_{L}\mathrm {e} ^{j\varphi _{L}}} où G est le gain et φL, la phase.

Ainsi, H L ( ω ) = G L e j φ L {\displaystyle H_{L}(\omega )=G_{L}\mathrm {e} ^{j\varphi _{L}}} avec :

G L = L R ω 1 + ( L R ω ) 2 {\displaystyle G_{L}={\frac {{\frac {L}{R}}\omega }{\sqrt {1+({\frac {L}{R}}\omega )^{2}}}}}
φ L = arg ⁡ ( H ) = π 2 − arctan ⁡ ( L R ω ) {\displaystyle \varphi _{L}=\arg(H)={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {L}{R}}\omega \right)}

Quand ω tend vers 0 :

H L ≈ j L R ω   donc   G L → 0   et   φ L → π 2 {\displaystyle H_{L}\approx j{\frac {L}{R}}\omega \ {\textrm {donc}}\ G_{L}\to 0\ {\textrm {et}}\ \varphi _{L}\to {\frac {\pi }{2}}}

Quand ω tend vers l'infini :

G L → 1   et   φ L → 0 {\displaystyle G_{L}\to 1\ {\textrm {et}}\ \varphi _{L}\to 0}

Ainsi, lorsque la sortie du filtre est prise sur la bobine le comportement est du type filtre passe-haut : les basses fréquences sont atténuées et les hautes fréquences passent.

Voir aussi

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