Conjecture de Mertens
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En théorie des nombres, si nous définissons la fonction de Mertens ainsi :
étant la fonction de Möbius, alors la conjecture de Mertens énonce que
Stieltjes prétendit en 1885 que M(n)⁄√n était compris entre deux bornes constantes, qui selon lui pouvaient être –1 et 1. Mertens à son tour publia un article en 1897 affirmant, calcul de M(104) à l'appui, que l'inégalité |M(n)| < √n lui semblait très probable pour tout n > 1.
Or toute inégalité de la forme |M(n)| < c√n, c étant un réel positif, implique l'hypothèse de Riemann.
Plus précisément, l'hypothèse de Riemann est équivalente à :
On démontre un sens de cette équivalence ainsi :
où ζ est la fonction zêta de Riemann. La conjecture de Mertens indiquait que cette intégrale converge pour Re(z) > 1/2, ce qui impliquerait que 1⁄ζ est définie pour Re(z) > 1/2 et par symétrie pour Re(z) < 1/2. Ainsi, les seuls zéros non triviaux de ζ vérifieraient Re(z) = 1/2, ce qui est l'énoncé de l'hypothèse de Riemann.
Mais en 1985, Herman te Riele et Andrew Odlyzko ont démontré que la conjecture de Mertens est fausse[1]. Plus précisément, ils ont démontré que M(n)⁄√n a des valeurs supérieures à 1,06 et des valeurs inférieures à –1,009[2]. János Pintz a montré peu après qu'il existe au moins un entier inférieur à exp(3,21.1064) réfutant la conjecture[3].
On ignore toujours si M(n)⁄√n est bornée, mais Te Riele et Odlyzko considèrent qu'il est probable que non.
Notes et références
- ↑ (en) A. Odlyzko et H. J. J. te Riele, « Disproof of the Mertens conjecture », J. reine angew. Math., vol. 357, , p. 138-160 (lire en ligne)
- ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Mertens Conjecture », sur MathWorld
- ↑ (en) J. Pintz, « An effective disproof of the Mertens conjecture », Astérisque, nos 147-148, , p. 325-333
Arithmétique et théorie des nombres