Constante d'Embree-Trefethen

En mathématiques, et notamment en théorie des nombres, la constante d'Embree-Trefethen est une valeur charnière, notée traditionnellement ${\displaystyle \beta ^{*}}$ et valant approximativement ${\displaystyle 0{,}70258}$. Cette constante porte le nom des mathématiciens Mark Embree (en) et Lloyd N. Trefethen^[1].

Soit ${\displaystyle \beta }$ un nombre positif fixé. On considère la suite définie par récurrence

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}}$

où le signe ± dans la somme est choisi aléatoirement pour chaque n, indépendamment et avec la même probabilité pour + et −. On peut démontrer que pour chaque ${\displaystyle \beta }$, la limite

${\displaystyle \sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }{|x_{n}|^{1/n}}}$

existe presque sûrement. En d'autres termes, la suite varie exponentiellement avec probabilité 1, et ${\displaystyle \sigma (\beta )}$ peut être vu comme le taux presque sûr de croissance exponentielle.

On a

${\displaystyle \sigma (\beta )<1}$ pour ${\displaystyle 0<\beta <\beta ^{*}}$

où ${\displaystyle \beta ^{*}\approx 0{,}70258}$ ( A118288), de sorte que la suite récurrente décroît exponentiellement avec probabilité 1 quand n tend vers l'infini, et

${\displaystyle \sigma (\beta )>1}$ pour ${\displaystyle \beta >\beta ^{*}}$

de sorte que la suite croît exponentiellement. En ce qui concerne les valeurs de ${\displaystyle \sigma }$, on a :

• ${\displaystyle \sigma (1)=1{,}13198\dots }$ (c'est la constante de Viswanath  A078416) et
• ${\displaystyle \sigma (\beta ^{*})=1}$.

• (en) Eric W. Weisstein, « Random Fibonacci Sequence », sur MathWorld
• Benoît Rittaud, « Les suites de Fibonacci aléatoires », ALEA 2009, Université Paris-13

• Arithmétique et théorie des nombres