Constante d'Embree-Trefethen
En mathématiques, et notamment en théorie des nombres, la constante d'Embree-Trefethen est une valeur charnière, notée traditionnellement et valant approximativement . Cette constante porte le nom des mathématiciens Mark Embree (en) et Lloyd N. Trefethen[1].
Soit un nombre positif fixé. On considère la suite définie par récurrence
où le signe ± dans la somme est choisi aléatoirement pour chaque n, indépendamment et avec la même probabilité pour + et −. On peut démontrer que pour chaque , la limite
existe presque sûrement. En d'autres termes, la suite varie exponentiellement avec probabilité 1, et peut être vu comme le taux presque sûr de croissance exponentielle.
On a
- pour
où ( A118288), de sorte que la suite récurrente décroît exponentiellement avec probabilité 1 quand n tend vers l'infini, et
- pour
de sorte que la suite croît exponentiellement. En ce qui concerne les valeurs de , on a :
- (c'est la constante de Viswanath
A078416) et
- .
Notes et références
- ↑ (en) Mark Embree et Lloyd N. Trefethen, « Growth and decay of random Fibonacci sequences », Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, vol. 455, no 1987, , p. 2471-2485 (DOI 10.1098/rspa.1999.0412, lire en ligne).
Liens externes
- (en) Eric W. Weisstein, « Random Fibonacci Sequence », sur MathWorld
- Benoît Rittaud, « Les suites de Fibonacci aléatoires », ALEA 2009, Université Paris-13
Arithmétique et théorie des nombres